矩阵分析

矩阵分析(英语:matrix analysis) 是一门研究矩阵及其代数性质的学科。这门学科研究的内容包括矩阵的运算(加法、矩阵乘法等)、矩阵函数、矩阵的特征值(特征值分解)等。

矩阵空间

数域 F 下的所有 m×n 矩阵构成向量空间 Mmn(F)。数域 F 包括有理数ℚ、实数ℝ、复数ℂ等。当    时,空间 Mmn(F) 和 Mpq(F) 不一致,例如 M32(F) ≠ M23(F)。

两个 m×n 的矩阵 AB 在空间 Mmn(F) 相加可以得到空间 Mmn(F) 下的一个新矩阵:

 

与数域 F 中的数 α 相乘,也可以得到空间 Mmn(F) 下的矩阵:

 

以上两条性质可以总结为:在矩阵空间 Mmn(F) 下的两个矩阵 AB 线性组合可以得到空间 Mmn(F) 下的一个新矩阵:

 

其中 αβ 是数域 F 中的数。

所有矩阵都可以表示为基矩阵的线性组合,这些基矩阵起到类似于基向量的作用。例如,对于实数域下的 2×2 矩阵空间 M22(ℝ),一组可行的基矩阵可以是:

 

因为所有的 2×2 矩阵均可以表示为:

 

其中 a, b, c,d 均为实数。这个思路也可以推广到高维矩阵空间下。

行列式

行列式是方阵的重要性质之一,它可以指示一个矩阵是否可逆。矩阵的行列式被用于计算特征值、求解线性方程组等方面。

矩阵的特征值和特征向量

一个   矩阵的特征值   和特征向量   定义为:

 

也就是说,一个矩阵乘以它的特征向量相当于它的特征值乘以特征向量。一个   的矩阵有 n 个特征值,它们是矩阵特征多项式的根:

 

其中   单位矩阵

相似矩阵

如果两个 的矩阵  可以用相似变换联系起来,则两个矩阵相似:

 

可逆矩阵 被称为相似变换矩阵。

酉相似