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矩阵分析(英语:matrix analysis) 是一门研究矩阵及其代数性质的学科。这门学科研究的内容包括矩阵的运算(加法、矩阵乘法等)、矩阵函数、矩阵的特征值(特征值分解)等。
矩阵空间
数域 F 下的所有 m×n 矩阵构成向量空间 Mmn(F)。数域 F 包括有理数ℚ、实数ℝ、复数ℂ等。当 或 时,空间 Mmn(F) 和 Mpq(F) 不一致,例如 M32(F) ≠ M23(F)。
两个 m×n 的矩阵 A 和 B 在空间 Mmn(F) 相加可以得到空间 Mmn(F) 下的一个新矩阵:
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与数域 F 中的数 α 相乘,也可以得到空间 Mmn(F) 下的矩阵:
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以上两条性质可以总结为:在矩阵空间 Mmn(F) 下的两个矩阵 A 和 B 线性组合可以得到空间 Mmn(F) 下的一个新矩阵:
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其中 α 和 β 是数域 F 中的数。
所有矩阵都可以表示为基矩阵的线性组合,这些基矩阵起到类似于基向量的作用。例如,对于实数域下的 2×2 矩阵空间 M22(ℝ),一组可行的基矩阵可以是:
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因为所有的 2×2 矩阵均可以表示为:
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其中 a, b, c,d 均为实数。这个思路也可以推广到高维矩阵空间下。
行列式
行列式是方阵的重要性质之一,它可以指示一个矩阵是否可逆。矩阵的行列式被用于计算特征值、求解线性方程组等方面。
矩阵的特征值和特征向量
一个 矩阵的特征值 和特征向量 定义为:
也就是说,一个矩阵乘以它的特征向量相当于它的特征值乘以特征向量。一个 的矩阵有 n 个特征值,它们是矩阵特征多项式的根:
其中 为 的单位矩阵。
相似矩阵
如果两个 的矩阵 和 可以用相似变换联系起来,则两个矩阵相似:
可逆矩阵 被称为相似变换矩阵。
酉相似