四次平面曲线

上述曲线中，系数的不同组合产生了以下重要的曲线族。

&符号曲线

&符号曲线（ampersand curve）是以下方程对应的四次曲线

${\displaystyle \ (y^{2}-x^{2})(x-1)(2x-3)=4(x^{2}+y^{2}-2x)^{2}.}$ 

其亏格为0，有三个一般的双点，都在实数平面上。^[1]

Bean曲线

Bean曲线（bean curve）是以下方程对应的四次曲线

${\displaystyle x^{4}+x^{2}y^{2}+y^{4}=x(x^{2}+y^{2}).\,}$ 

其亏格为0，在原点有一个奇点，是一个一般的三次点^[2][3]。

Bicuspid曲线

bicuspid是方程式如下的四次曲线：

${\displaystyle (x^{2}-a^{2})(x-a)^{2}+(y^{2}-a^{2})^{2}=0\,}$ 

其中a决定了曲线的大小。 bicuspid只有二个node为奇异点，因此是亏格为1的曲线。 ^[4]

Bow曲线

Bow曲线是方程式如下的四次曲线：

${\displaystyle x^{4}=x^{2}y-y^{3}.\,}$ 

在x=0, y=0处有单一的三重点，是有理曲线，亏格为0。 ^[5]

Cruciform曲线

Cruciform曲线是以下方程的四次曲线

${\displaystyle x^{2}y^{2}-b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}=0\,}$ 

其中a和b为决定曲线形状的参数。 Cruciform曲线可以透过一个标准的二次变换x ↦ 1/x, y ↦ 1/y转变为椭圆a²x² + b²y² = 1，因此是亏格为0的有理平面代数曲线。Cruciform曲线在实射影平面中有三个双重点，是（x=0、y=0），（x=0 、z=0） 以及（y=0、z=0）。 ^[6]

此曲线是有理曲线，参数化后的结果也是有理函数。例如，令a=1及b=2，可得以下的参数式

${\displaystyle x=-{\frac {t^{2}-2t+5}{t^{2}-2t-3}},\quad y={\frac {t^{2}-2t+5}{2t-2}}}$ 

其中唯一一个无法参数化的点是会让参数式分母为零的点。

Spiric截面

Spiric截面（英语：Spiric section）可以定义成对x轴及y轴对称的圆代数（英语：Circular algebraic curve）四次平面曲线。Spiric截面包括在环面曲线中，其中包括了hippopede（英语：hippopede）及卡西尼卵形线。其英文名称Spiric源自古希腊文的环面σπειρα。

笛卡儿坐标系下的方程式为

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=dx^{2}+ey^{2}+f,}$ 

极座标系的方程式为

${\displaystyle r^{4}=dr^{2}\cos ^{2}\theta +er^{2}\sin ^{2}\theta +f.\,}$ 

三叶线

三叶线（three-leaved clover）是以下方程的四次平面曲线

${\displaystyle x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}-x^{3}+3xy^{2}=0.\,}$ 

在求解y后，曲线可以表示为以下的方程：

${\displaystyle y=\pm {\sqrt {\frac {-2x^{2}-3x\pm {\sqrt {16x^{3}+9x^{2}}}}{2}}},}$ 

其中二个±是彼此独立的，因此每一个x会对应四个y值。

三叶线的参数式为

${\displaystyle x=\cos(3t)\cos t,\quad y=\cos(3t)\sin t.\,}$ ^[7]

在极坐标（x = r cos φ, y = r sin φ）下的方程如下

${\displaystyle r=\cos(3\varphi ).\,}$ 

这是玫瑰线中k = 3的特例。 三叶线在原点处为三重点，有三个二切线。