高斯引理 (多项式)

当一个整系数多项式 ${\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+\dots +a_{1}x+a_{0}}$ 的系数的最大公因数是1，我们称其为本原多项式。那么有以下高斯引理：

高斯引理 (本原版本). 两个本原多项式的乘积仍是本原多项式。

证明：

以下以反证法证明。

设整系数多项式${\displaystyle f(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{s}x^{s},g(x)=b_{0}+b_{1}x+\cdots +b_{t}x^{t}}$ 都是本原的，并反设${\displaystyle h(x):=f(x)g(x)}$ 不是本原多项式。

于是${\displaystyle h(x)}$ 是非本原的整系数多项式，因此可选整除${\displaystyle h(x)}$ 所有系数的质数${\displaystyle p}$ 。

但${\displaystyle f(x),g(x)}$ 皆是本原的，从而可分别选定${\displaystyle i\in \{0,\dots ,s\},j\in \{0,\dots ,t\}}$ 为满足${\displaystyle p\nmid a_{i},p\nmid b_{j}}$ 的最小整数。现在我们知道${\displaystyle h(x)}$ 的${\displaystyle i+j}$ 项系数是

${\displaystyle \sum _{k=0}^{i+j}a_{k}b_{i+j-k}\equiv a_{i}b_{j}\not \equiv 0{\pmod {p}}.}$ 

根据假设，该项系数应该被${\displaystyle p}$ 整除，矛盾，故得证。

高斯引理 (不可约版本). 如果一非常数整系数多项式在有理系数多项式环${\displaystyle \mathbb {Q} [x]}$ 内可约，则他在整系数多项式环${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$ 内也可约。

证明：

设${\displaystyle h(x)}$ 是一在${\displaystyle \mathbb {Q} [x]}$ 内可约的非常数整系数多项式。于是可取两个非常数的有理系数多项式${\displaystyle f_{1}(x),g_{1}(x)}$ 使得${\displaystyle h(x)=f_{1}(x)g_{1}(x)}$ 。

透过适当选取整数${\displaystyle a,b,c,d}$ ，可以假设${\displaystyle \textstyle f_{2}(x):={\frac {a}{c}}f_{1}(x),g_{2}(x):={\frac {b}{d}}g_{1}(x)}$ 皆是本原多项式（当然也就是整系数多项式）。

由上一个引理，${\displaystyle f_{2}(x)g_{2}(x)=\textstyle {\frac {ab}{cd}}h(x)}$ 也是本原多项式。于是${\displaystyle \textstyle {\frac {cd}{ab}}}$ 是${\displaystyle h(x)}$ 的系数的最大公因数，故${\displaystyle \textstyle {\frac {cd}{ab}}}$ 是个整数。

现在，我们有${\displaystyle h(x)=\textstyle {\frac {cd}{ab}}f_{2}(x)g_{2}(x)}$ 且${\displaystyle \textstyle {\frac {cd}{ab}}}$ 是整数，于是也就证明了${\displaystyle h(x)}$ 在${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$ 内也可约。

1. ^ Article 42 of Carl Friedrich Gauss's Disquisitiones Arithmeticae (1801)