牛顿-柯特斯公式

梯形法则是：

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx (b-a){\frac {f(a)+f(b)}{2}}.}$ 

这等同将被积函数近似为直线函数，被积的部分近似为梯形。

要求得较准确的数值，可以将要求积的区间分成多个小区间，再个别估计，即：

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{n}}\left({f(a)+f(b) \over 2}+\sum _{k=1}^{n-1}f\left(a+k{\frac {b-a}{n}}\right)\right).}$ 

可改写成

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{2n}}\left(f(x_{0})+2f(x_{1})+2f(x_{2})+\cdots +2f(x_{n-1})+f(x_{n})\right)}$ 

其中

对${\displaystyle k=0,1,\dots ,n}$ ，${\displaystyle x_{k}=a+k{\frac {b-a}{n}},}$ 。

辛普森法则（Simpson's rule，又称森逊法则、辛普森法则）是：

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{6}}\left[f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right].}$ 

同样地，辛普森法则也有多重的版本：

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {h}{3}}\cdot \left[f(x_{0})+2\sum _{k=1}^{n-1}f(x_{k})+4\sum _{k=1}^{n}f\left({\frac {x_{k-1}+x_{k}}{2}}\right)+f(x_{n})\right]}$ 

${\displaystyle h={\frac {b-a}{n}},\ x_{k}=a+k\cdot h.}$ 

或写成

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {h}{3}}{\bigg [}f(x_{0})+4f(x_{1})+2f(x_{2})+4f(x_{3})+2f(x_{4})+\cdots +4f(x_{n-1})+f(x_{n}){\bigg ]}}$ 

牛顿-柯特斯公式（Newton-Cotes rule / Newton-Cotes formula）以Roger Cotes和艾萨克·牛顿命名。其内容是：

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{i=0}^{n}w_{i}\,f(x_{i})}$ 

其中对${\displaystyle k=0,1,\dots ,n}$ ，${\displaystyle w_{i}}$ 是常数（由${\displaystyle n}$ 的值决定），${\displaystyle x_{k}=a+k{\frac {b-a}{n}}}$ 。

梯形法则和辛普森法则便是${\displaystyle n=1,2}$ 的情况。

亦有不采用在边界点来估计的版本，即取 ${\displaystyle x_{k}=a+k{\frac {b-a}{n+1}}}$  。

原理

• 假设已知${\displaystyle f(x_{0}),f(x_{1}),\dots ,f(x_{n})}$ 的值。
• 以${\displaystyle n+1}$ 点进行插值，求得对应${\displaystyle f(x)}$ 的拉格朗日多项式。
• 对该${\displaystyle n}$ 次的多项式求积。

该积分便可以作为${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$ 的近似，而由于该拉格朗日多项式的系数都是常数（由${\displaystyle n}$ 决定其值），所以积函数的系数（即${\displaystyle w_{i}}$ ）都是常数。

缺点

对于次数较高的多项式而有很大误差（龙格现象），不如高斯积分法。

例子

下表中${\displaystyle f_{i}=f(x_{i})}$ ，${\displaystyle \xi \in [a,b]}$ ，${\displaystyle h=b-a}$ 

• M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (See Section 25.4.)
• George E. Forsythe, Michael A. Malcolm, and Cleve B. Moler. Computer Methods for Mathematical Computations. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1977. (See Section 5.1.)
• William H. Press, Brian P. Flannery, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. (See Section 4.1.)
• Josef Stoer and Roland Bulirsch. Introduction to Numerical Analysis. New York: Springer-Verlag, 1980. (See Section 3.1.)

• 黄 Sir 的计算机网页: Numerical Integration : Trapezoidal Rule and Simpson's Rule （页面存档备份，存于互联网档案馆）