导出拓扑

拓扑学与相关数学领域里,导出拓扑(英语:induced topology,或译诱导拓扑)是指透过拓扑空间与某个集合间的函数,所导出该集合之拓扑。该集合可能是函数的定义域到达域

定义

导出拓扑的定义如下:

令 X0、X1 为集合,  为由 X0 映射至 X1 的函数。
  为 X0 上的拓扑,则   在 X1 上导出之拓扑 
  为 X1 上的拓扑,则   在 X0 上导出之拓扑 

可以看到,上述两个定义都是使用原像,因为原像会维持集合的交集并集,但则不一定可以。举例来说,考虑一具有拓扑   之集合  、一集合  ,以及一函数  ,使得  。可知,  不会形成一个拓扑,因为  ,但  


下面为导出拓扑的等价定义:

由 f 在 X1 上导出之拓扑   为使得 f 是连续最精细拓扑。此一拓扑为 X1终拓扑之一例。
由 f 在 X0 上导出之拓扑   为使得 f 是连续的最粗糙拓扑。此一拓扑为 X0初拓扑之一例。

例子

  • 商拓扑是个由商映射导出之拓扑。
  • 若 f 是个包含映射,则 f 在 X0 上会导出子空间拓扑

参考资料

  • Hu, Sze-Tsen. Elements of general topology. Holden-Day. 1969. 

另见

  • 自然拓扑