环索线

StrophoidConstruction.svg

环索线(strophoid)是几何学中的一种曲线,由给定曲线C、点A(固定点)及点O(极点),依以下方式产生:令L是通过O,和曲线C的交点为K的变动直线。令P1P2是直线L上的两点,这两点和K的距离和AK的距离相同(因此AP1P2在圆心为O为圆上)。P1、P2轨迹即为曲线C的环索线,相对于极点O及固定点A。 其中AP1AP2会呈直角。

C是直线,AC上,而O不在C上,此曲线称为斜环索线(oblique strophoid)。若OAC垂直,此曲线则称为正环索线(right strophoid),正环索线也称为logocyclic curve或叶状线(foliate)。

方程式

极坐标

令曲线C的极坐标方程为 ,其中原点为O,令A的直角坐标为(a, b),若 是曲线上的一点,KA的距离为

 .

OK线上的点,其极座标角度为 ,线上和点K距离为d的点,和原点的距离为 。因此,环索线的方程如下

 

另一种极座标公式

C是极点为OA麦克劳林分角线英语sectrix of Maclaurin时,可以用以下的极座标公式。

O为原点,A为点(a, 0),令K为曲线上一点,线OK和X轴的夹角为 ,而  是线AK和和X轴的夹角。假设 可以表示为 的函数,假设 。令 K的角度,则 。可以用正弦定律,将rl来表示。因为

 

P1P2OK线上和K点的距离等于AK的点,调整编号使 ,且  是顶角为 的等腰三角形,剩下的两角  角度为 AP1线和x轴角度为

 

同理可得AP2和x轴的角度为

 .

环索线的极座标式可以表示以下有l1l2的式子:

 
 

l ,曲线C是极点为OA的麦克劳林分角线,此时,l1l2会有相同的型式,因此环索线可以是另一个麦克劳林分角线,或是一对这类的曲线。若原点往右移a的位置,也会有较简单的极座标方程。

特例

斜环索线

C是通过A点的直线。依照上式的表示法, ,其中 为常数,则  。相对原点O点环索线的极座标(斜环索线)方程为

 

以及

 .

可以确定上式二式描述的是同一条直线。

将原点移到A点,用−a代替a,可得

 ,

旋转角度 后可得

 .

在直角坐标系,调整常数的参数,可得

 .

是三次曲线,在极座标下是有理函数,其叉点在(0, 0),渐近线为直线y=b

正环索线

 
正环索线

 代入下式

 

可得

 .

此即为正环索线,对应直线Cy轴,A点为原点,O点为点(a,0)的情形。

笛卡尔坐标系方程为

 .

此曲线为笛卡儿叶形线[1],直线x = −a是二个分支的渐近线。此曲线还有二条渐近线,分别是复数平面上的

 

令圆C是通过OA的圆,其中O为原点,A的座标为(a, 0)。依以上的表示法, ,其中 是常数。则 以及 ,所得相对于圆O环索线(oblique strophoid)的极座标方程为

 

 .

这是二个通过OA,在C点形成角度 的圆。

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参考资料

  1. ^   Chisholm, Hugh (编). Logocyclic Curve, Strophoid or Foliate. 大英百科全书 16 (11th ed.). 剑桥大学出版社: 919. 1911. 

外部链接

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