环索线

极坐标

令曲线C的极坐标方程为${\displaystyle r=f(\theta )}$ ，其中原点为O，令A的直角坐标为(a, b)，若${\displaystyle K=(r\cos \theta ,\ r\sin \theta )}$ 是曲线上的一点，K到A的距离为

${\displaystyle d={\sqrt {(r\cos \theta -a)^{2}+(r\sin \theta -b)^{2}}}={\sqrt {(f(\theta )\cos \theta -a)^{2}+(f(\theta )\sin \theta -b)^{2}}}}$ .

在OK线上的点，其极座标角度为${\displaystyle \theta }$ ，线上和点K距离为d的点，和原点的距离为${\displaystyle f(\theta )\pm d}$ 。因此，环索线的方程如下

${\displaystyle r=f(\theta )\pm {\sqrt {(f(\theta )\cos \theta -a)^{2}+(f(\theta )\sin \theta -b)^{2}}}}$ 

另一种极座标公式

若C是极点为O和A的麦克劳林分角线（英语：sectrix of Maclaurin）时，可以用以下的极座标公式。

令O为原点，A为点(a, 0)，令K为曲线上一点，线OK和X轴的夹角为${\displaystyle \theta }$ ，而 ${\displaystyle \vartheta }$ 是线AK和和X轴的夹角。假设${\displaystyle \vartheta }$ 可以表示为${\displaystyle \theta }$ 的函数，假设${\displaystyle \vartheta =l(\theta )}$ 。令${\displaystyle \psi }$ 是K的角度，则${\displaystyle \psi =\vartheta -\theta }$ 。可以用正弦定律，将r用l来表示。因为

${\displaystyle {r \over \sin \vartheta }={a \over \sin \psi },\ r=a{\frac {\sin \vartheta }{\sin \psi }}=a{\frac {\sin l(\theta )}{\sin(l(\theta )-\theta )}}}$ 。

令P₁和P₂是OK线上和K点的距离等于AK的点，调整编号使${\displaystyle \psi =\angle P_{1}KA}$ ，且${\displaystyle \pi -\psi =\angle AKP_{2}}$ 。${\displaystyle \triangle P_{1}KA}$ 是顶角为${\displaystyle \psi }$ 的等腰三角形，剩下的两角${\displaystyle \angle AP_{1}K}$ 和${\displaystyle \angle KAP_{1}}$ 角度为${\displaystyle (\pi -\psi )/2}$ 。AP₁线和x轴角度为

${\displaystyle l_{1}(\theta )=\vartheta +\angle KAP_{1}=\vartheta +(\pi -\psi )/2=\vartheta +(\pi -\vartheta +\theta )/2=(\vartheta +\theta +\pi )/2}$ 。

同理可得AP₂和x轴的角度为

${\displaystyle l_{2}(\theta )=(\vartheta +\theta )/2}$ .

环索线的极座标式可以表示以下有l₁及l₂的式子：

${\displaystyle r_{1}=a{\frac {\sin l_{1}(\theta )}{\sin(l_{1}(\theta )-\theta )}}=a{\frac {\sin((l(\theta )+\theta +\pi )/2)}{\sin((l(\theta )+\theta +\pi )/2-\theta )}}=a{\frac {\cos((l(\theta )+\theta )/2)}{\cos((l(\theta )-\theta )/2)}}}$ 

${\displaystyle r_{2}=a{\frac {\sin l_{2}(\theta )}{\sin(l_{2}(\theta )-\theta )}}=a{\frac {\sin((l(\theta )+\theta )/2)}{\sin((l(\theta )+\theta )/2-\theta )}}=a{\frac {\sin((l(\theta )+\theta )/2)}{\sin((l(\theta )-\theta )/2)}}}$ 

若l是${\displaystyle q\theta +\theta _{0}}$ ，曲线C是极点为O和A的麦克劳林分角线，此时，l₁和l₂会有相同的型式，因此环索线可以是另一个麦克劳林分角线，或是一对这类的曲线。若原点往右移a的位置，也会有较简单的极座标方程。

斜环索线

令C是通过A点的直线。依照上式的表示法，${\displaystyle l(\theta )=\alpha }$ ，其中${\displaystyle \alpha }$ 为常数，则${\displaystyle l_{1}(\theta )=(\theta +\alpha +\pi )/2}$ 且${\displaystyle l_{2}(\theta )=(\theta +\alpha )/2}$ 。相对原点O点环索线的极座标（斜环索线）方程为

${\displaystyle r=a{\frac {\cos((\alpha +\theta )/2)}{\cos((\alpha -\theta )/2)}}}$ 

以及

${\displaystyle r=a{\frac {\sin((\alpha +\theta )/2)}{\sin((\alpha -\theta )/2)}}}$ .

可以确定上式二式描述的是同一条直线。

将原点移到A点，用−a代替a，可得

${\displaystyle r=a{\frac {\sin(2\theta -\alpha )}{\sin(\theta -\alpha )}}}$ ,

旋转角度${\displaystyle \alpha }$ 后可得

${\displaystyle r=a{\frac {\sin(2\theta +\alpha )}{\sin(\theta )}}}$ .

在直角坐标系，调整常数的参数，可得

${\displaystyle y(x^{2}+y^{2})=b(x^{2}-y^{2})+2cxy}$ .

是三次曲线，在极座标下是有理函数，其叉点在(0, 0)，渐近线为直线y=b。

正环索线

将${\displaystyle \alpha =\pi /2}$ 代入下式

${\displaystyle r=a{\frac {\sin(2\theta -\alpha )}{\sin(\theta -\alpha )}}}$ 

可得

${\displaystyle r=a{\frac {\cos 2\theta }{\cos \theta }}=a(2\cos \theta -\sec \theta )}$ .

此即为正环索线，对应直线C为y轴，A点为原点，O点为点(a,0)的情形。

笛卡尔坐标系方程为

${\displaystyle y^{2}=x^{2}(a-x)/(a+x)}$ .

此曲线为笛卡儿叶形线^[1]，直线x = −a是二个分支的渐近线。此曲线还有二条渐近线，分别是复数平面上的

${\displaystyle x\pm iy=-a}$ 。

圆

令圆C是通过O和A的圆，其中O为原点，A的座标为(a, 0)。依以上的表示法，${\displaystyle l(\theta )=\alpha +\theta }$ ，其中${\displaystyle \alpha }$ 是常数。则${\displaystyle l_{1}(\theta )=\theta +(\alpha +\pi )/2}$ 以及${\displaystyle l_{2}(\theta )=\theta +\alpha /2}$ ，所得相对于圆O环索线（oblique strophoid）的极座标方程为

${\displaystyle r=a{\frac {\cos(\theta +\alpha /2)}{\cos(\alpha /2)}}}$ 

及

${\displaystyle r=a{\frac {\sin(\theta +\alpha /2)}{\sin(\alpha /2)}}}$ .

这是二个通过O和A，在C点形成角度${\displaystyle \pi /4}$ 的圆。

• 蚌线
• 蔓叶线

• J. Dennis Lawrence. A catalog of special plane curves . Dover Publications. 1972: 51–53,95,100–104,175. ISBN 0-486-60288-5.  含有内容需登入查看的页面 (link)
• E. H. Lockwood. Strophoids. A Book of Curves. Cambridge, England: Cambridge University Press. 1961: 134–137. ISBN 0-521-05585-7. 
• R. C. Yates. Strophoids. A Handbook on Curves and Their Properties. Ann Arbor, MI: J. W. Edwards. 1952: 217–220. 
• 埃里克·韦斯坦因. Strophoid. MathWorld. 
• 埃里克·韦斯坦因. Right Strophoid. MathWorld. 
• Sokolov, D.D., Strophoid, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• 约翰·J·奥康纳; 埃德蒙·F·罗伯逊（英语：Edmund F. Robertson）, Right Strophoid, MacTutor数学史档案 （英语） 

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