环索线(strophoid)是几何学中的一种曲线,由给定曲线C、点A(固定点)及点O(极点),依以下方式产生:令L是通过O,和曲线C的交点为K的变动直线。令P1和P2是直线L上的两点,这两点和K的距离和A到K的距离相同(因此A、P1、P2在圆心为O为圆上)。P1、P2的轨迹即为曲线C的环索线,相对于极点O及固定点A。
其中AP1和AP2会呈直角。
若C是直线,A在C上,而O不在C上,此曲线称为斜环索线(oblique strophoid)。若OA和C垂直,此曲线则称为正环索线(right strophoid),正环索线也称为logocyclic curve或叶状线(foliate)。
方程式
极坐标
令曲线C的极坐标方程为 ,其中原点为O,令A的直角坐标为(a, b),若 是曲线上的一点,K到A的距离为
- .
在OK线上的点,其极座标角度为 ,线上和点K距离为d的点,和原点的距离为 。因此,环索线的方程如下
-
另一种极座标公式
若C是极点为O和A的麦克劳林分角线时,可以用以下的极座标公式。
令O为原点,A为点(a, 0),令K为曲线上一点,线OK和X轴的夹角为 ,而 是线AK和和X轴的夹角。假设 可以表示为 的函数,假设 。令 是K的角度,则 。可以用正弦定律,将r用l来表示。因为
- 。
令P1和P2是OK线上和K点的距离等于AK的点,调整编号使 ,且 。 是顶角为 的等腰三角形,剩下的两角 和 角度为 。AP1线和x轴角度为
- 。
同理可得AP2和x轴的角度为
- .
环索线的极座标式可以表示以下有l1及l2的式子:
-
-
若l是 ,曲线C是极点为O和A的麦克劳林分角线,此时,l1和l2会有相同的型式,因此环索线可以是另一个麦克劳林分角线,或是一对这类的曲线。若原点往右移a的位置,也会有较简单的极座标方程。
特例
斜环索线
令C是通过A点的直线。依照上式的表示法, ,其中 为常数,则 且 。相对原点O点环索线的极座标(斜环索线)方程为
-
以及
- .
可以确定上式二式描述的是同一条直线。
将原点移到A点,用−a代替a,可得
- ,
旋转角度 后可得
- .
在直角坐标系,调整常数的参数,可得
- .
是三次曲线,在极座标下是有理函数,其叉点在(0, 0),渐近线为直线y=b。
正环索线
将 代入下式
-
可得
- .
此即为正环索线,对应直线C为y轴,A点为原点,O点为点(a,0)的情形。
笛卡尔坐标系方程为
- .
此曲线为笛卡儿叶形线[1],直线x = −a是二个分支的渐近线。此曲线还有二条渐近线,分别是复数平面上的
- 。
圆
令圆C是通过O和A的圆,其中O为原点,A的座标为(a, 0)。依以上的表示法, ,其中 是常数。则 以及 ,所得相对于圆O环索线(oblique strophoid)的极座标方程为
-
及
- .
这是二个通过O和A,在C点形成角度 的圆。
相关条目
参考资料
- J. Dennis Lawrence. A catalog of special plane curves . Dover Publications. 1972: 51–53,95,100–104,175. ISBN 0-486-60288-5.
- E. H. Lockwood. Strophoids. A Book of Curves. Cambridge, England: Cambridge University Press. 1961: 134–137. ISBN 0-521-05585-7.
- R. C. Yates. Strophoids. A Handbook on Curves and Their Properties. Ann Arbor, MI: J. W. Edwards. 1952: 217–220.
- 埃里克·韦斯坦因. Strophoid. MathWorld.
- 埃里克·韦斯坦因. Right Strophoid. MathWorld.
- Sokolov, D.D., Strophoid, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
- 约翰·J·奥康纳; 埃德蒙·F·罗伯逊, Right Strophoid, MacTutor数学史档案 (英语)
外部链接