阶加
在数学中,正整数的阶加(英语:Termial)是所有小于及等于该数的正整数的和,计为n?。例如:
根据空和的惯例,0?的值为0。
该术语是由高德纳在《计算机程序设计艺术》中创造的。它是从1到n的整数的积的阶乘函数的加法模拟。他用它来说明域从正整数到实数的扩展。[1]
正整数的阶加也称为三角形数。[2]最初的几个(OEIS数列A000217)是
- 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666...
历史
18世纪以来,莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)和其他一些数学家一直试图将阶乘函数的域扩展到实数甚至复数,并最终提出了Γ函数。[3]1997年,高德纳在他的《计算机程序设计艺术》引入了阶加函数n?,作为阶乘的加法模拟,以便说明域扩展的含义。[1]
定义
阶加函数由和定义
最初整数n ≥ 1。这可以用求和符号表示为
从这些公式,可以得出递回关系式
例如:
可以使用等差数列的求和公式来计算阶加函数:
例如:
零的阶加
为了将递推关系扩展到n = 0,有必要定义
所以
非整数的阶加
非整数值的阶加函数也可以使用公式 。
例如:
应用领域
阶加在数学中不常使用,但它仍然在一些领域应用,如组合数学。
- 对于n个不同的元素,组合2个元素的方法数量等于(n − 1)?。这就是说
- 在玩4个4时,阶加可以是找到所需表达式的有用工具,尤其是在规则不允许使用小数点和平方根的情况下(这是因为数字0和2是不可用的)。例如:
阶加的和和函数
双阶加
类似于双阶乘[4],所有奇数直到某个正奇整数n的和称为n的双阶加,和表示为n??。定义为
例如: .
n = 1, 3, 5, 7,...的双阶加是平方数序列。[5]它开始为
质数阶加
质数阶加可以作为质数阶乘的一个类似物,表示为n§。它被定义为小于或等于n的质数之和,即
是素数计数函数。
例如:
前几个结果是
倒数阶加
倒数阶加定义为前n个正整数的倒数之和。它等于第n个调和数。[6]
例如:
参见
参考文献
- ^ 1.0 1.1 Donald E. Knuth (1997). The Art of Computer Programming: Volume 1: Fundamental Algorithms. 3rd Ed. Addison Wesley Longman, U.S.A. p. 48.
- ^ Weisstein, Eric W. (编). Triangular Number. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [30 December 2018]. (原始内容存档于2007-10-08) (英语).
- ^ Davis, P. J. Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function. American Mathematical Monthly. 1959, 66 (10) [30 December 2018]. doi:10.2307/2309786. (原始内容存档于2012-11-07).
- ^ Weisstein, Eric W. (编). Double Factorial. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [30 December 2018]. (原始内容存档于2021-03-07) (英语).
- ^ Weisstein, Eric W. (编). Square Number. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [30 December 2018]. (原始内容存档于2019-03-26) (英语).
- ^ Graham, R. L.; Knuth, D. E.; and Patashnik, O. (1994). Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley. pp. 272–282.