克莱尼不动点定理此条目没有列出任何参考或来源。 (2010年1月1日)维基百科所有的内容都应该可供查证。请协助补充可靠来源以改善这篇条目。无法查证的内容可能会因为异议提出而移除。在数学中,序理论的 Kleene 不动点定理指出给定任何完全格 L 和任何具有斯科特连续性的函数 f : L → L , {\displaystyle f:L\to L,} f {\displaystyle f} 的最小不动点 f i x ( f ) {\displaystyle fix(f)} 存在,如果我们用 ⊥ {\displaystyle \bot } 来表示L内的最小元素,那么 f i x ( f ) = ⨆ i ≥ 0 f i ( ⊥ ) {\displaystyle fix(f)=\bigsqcup _{i\geq 0}f^{i}(\bot )} 证明 我们首先定义集合 M = { ⊥ , f ( ⊥ ) , f 2 ( ⊥ ) , … } {\displaystyle M=\{\bot ,f(\bot ),f^{2}(\bot ),\ldots \}} ,为了方便表示,我们用 m {\displaystyle m} 来表示集合 M {\displaystyle M} 中最大的元素,即 m = ⨆ M {\displaystyle m=\bigsqcup M} 。我们想要证明 m {\displaystyle m} 为函数 f {\displaystyle f} 的最小不动点。 首先我们证明 m {\displaystyle m} 为函数 f {\displaystyle f} 的不动点。因为函数 f {\displaystyle f} 是斯科特连续的,所以我们有 f ( m ) = f ( ⊔ M ) = ⊔ ( f ( M ) ∪ ⊥ ) = ⨆ M = m {\displaystyle f(m)=f(\sqcup M)=\sqcup (f(M)\cup \bot )=\bigsqcup M=m} 。 接下来我们证明 m {\displaystyle m} 为函数 f {\displaystyle f} 的最小不动点。假设函数 f {\displaystyle f} 存在另外一个不动点 x {\displaystyle x} ,因为 ⊥ ⊑ x {\displaystyle \bot \sqsubseteq x} , 且函数 f {\displaystyle f} 为单调函数(由于斯科特连续性),所以 f ( ⊥ ) ⊑ f ( x ) = x {\displaystyle f(\bot )\sqsubseteq f(x)=x} 。假设 m = f k ( ⊥ ) , k ∈ N {\displaystyle m=f^{k}(\bot ),k\in \mathbb {N} } , 根据数学归纳法, f k ( ⊥ ) ⊑ f k ( x ) = x {\displaystyle f^{k}(\bot )\sqsubseteq f^{k}(x)=x} 。 即 m {\displaystyle m} 为函数 f {\displaystyle f} 的最小不动点。 参见 克纳斯特-塔斯基定理 其他不动点定理