倒数伽玛函数
在数学中,倒数伽玛函数(英语:Reciprocal gamma function)是指伽玛函数的倒数:
其中,Γ(z)代表伽玛函数。由于伽玛函数在整个复平面上皆非零且为亚纯函数,因此其倒数是一个整函数。
倒数伽玛函数是一个1阶整函数,其表示了log log |1/Γ(z)|的成长速度不会高过log |1/Γ(z)|。虽为1阶整函数但属无穷型,也就是说log |1/Γ(z)|的增长速度比任何|z|的倍数都快,因为它的增长与左手平面上的|z| log |z|大致成比例。
由于倒数伽玛函数不像伽玛函数快速成长,在程式计算上较伽玛函数容易,例如其泰勒级数[1],因此部分软件使用倒数伽玛函数作为计算伽玛函数的起点,一些软件除了计算伽玛函数外,会额外提供倒数伽玛函数。
魏尔斯特拉斯将倒数伽玛函数称为“factorielle”表示阶乘的倒数,并用于魏尔施特拉斯分解定理的发展[2]。
无穷乘积展开
根据莱昂哈德·欧拉以及卡尔·魏尔斯特拉斯给出的伽玛函数无穷乘积定义,可以推得倒数伽玛函数即伽玛函数之倒数的无穷乘积:
其中 是欧拉-马斯刻若尼常数。这个乘积展开式对所有复数z都有效。
泰勒级数
倒数伽玛函数从零展开的泰勒级数为:
其中γ是欧拉-马斯刻若尼常数。对n > 2的情形,其zn的系数an可由递推定义求出[3]:
其中ζ(s)代表黎曼ζ函数。2014年,Fekih-Ahmed发现这些系数可以用积分表示[1]:
其前几项的值为:
n | an |
---|---|
1 | +1.0000000000000000000000000000000000000000 |
2 | +0.5772156649015328606065120900824024310422 |
3 | −0.6558780715202538810770195151453904812798 |
4 | −0.0420026350340952355290039348754298187114 |
5 | +0.1665386113822914895017007951021052357178 |
6 | −0.0421977345555443367482083012891873913017 |
7 | −0.0096219715278769735621149216723481989754 |
8 | +0.0072189432466630995423950103404465727099 |
9 | −0.0011651675918590651121139710840183886668 |
10 | −0.0002152416741149509728157299630536478065 |
11 | +0.0001280502823881161861531986263281643234 |
12 | −0.0000201348547807882386556893914210218184 |
13 | −0.0000012504934821426706573453594738330922 |
14 | +0.0000011330272319816958823741296203307449 |
15 | −0.0000002056338416977607103450154130020573 |
16 | +0.0000000061160951044814158178624986828553 |
17 | +0.0000000050020076444692229300556650480600 |
18 | −0.0000000011812745704870201445881265654365 |
19 | +0.0000000001043426711691100510491540332312 |
20 | +0.0000000000077822634399050712540499373114 |
21 | −0.0000000000036968056186422057081878158781 |
22 | +0.0000000000005100370287454475979015481323 |
23 | −0.0000000000000205832605356650678322242954 |
24 | −0.0000000000000053481225394230179823700173 |
25 | +0.0000000000000012267786282382607901588938 |
26 | −0.0000000000000001181259301697458769513765 |
27 | +0.0000000000000000011866922547516003325798 |
28 | +0.0000000000000000014123806553180317815558 |
29 | −0.0000000000000000002298745684435370206592 |
30 | +0.0000000000000000000171440632192733743338 |
而an的近似值为[1]:
其中,
- 而 是分支为负一的朗伯W函数。
渐近展开
当|z|在arg(z)为一固定值的情形下趋于无穷,则有:
以围线积分表示
倒数伽玛函数可使用围线积分(contour integration[4])表示,此表示法由赫尔曼·汉克尔所提出,其为:
其中,H为汉克尔围线。
阶乘倒数
阶乘倒数是指阶乘的倒数。其等于所有小于及等于该数的正整数之倒数的积:
其无穷级数收敛在e[5]:
由于阶乘可以用伽玛函数来定义,因此阶乘倒数也可以表示为:
- .
对于 的正整数,其阶乘倒数可以用一个积分表示[6] :
- .
同理,倒数伽玛函数也可以用类似的方法表示。对所有的实数 且 ,我们可以写出倒数伽玛函数沿着实轴的积分表示式[7]:
其中在 的特定情况下,则可获得双阶乘的倒数与倒数伽玛函数之关系:
积分
将倒数伽玛函数在实轴上从零积到无穷的瑕积分为:
这个值又称为弗朗桑-罗宾逊常数。[8]
参见
- 伽玛函数
参考文献
- ^ 1.0 1.1 1.2 Fekih-Ahmed, L. (2014). On the Power Series Expansion of the Reciprocal Gamma Function (页面存档备份,存于互联网档案馆) pdf (PDF). [2018-12-22]. (原始内容存档 (PDF)于2018-12-22).. HAL archives,
- ^ Hazewinkel, Michiel (编), Weierstrass theorem, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, 2001 [1994], ISBN 978-1-55608-010-4
- ^ Wrench, J.W. (1968). Concerning two series for the gamma function. Mathematics of Computation, 22, 617–626. and
Wrench, J.W. (1973). Erratum: Concerning two series for the gamma function. Mathematics of Computation, 27, 681–682. - ^ 圍線積分 contour integration. [2018-12-28]. (原始内容存档于2019-06-10).
- ^ Iwanami Sūgaku Jiten Fourth, Tokyo: Iwanami Shoten, 2007, ISBN 978-4-00-080309-0, MR 2383190 (日语) 142.D
- ^ Graham, Knuth, and Patashnik. Concrete Mathematics. Addison-Wesley. 1994: 566.
- ^ Integral formula for . Math Stack Exchange. [2018-11-18]. (原始内容存档于2019-06-06).
- ^ Finch, S. R. "Fransén-Robinson Constant." §4.6 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 262-264, 2003.
- Thomas Schmelzer & Lloyd N. Trefethen, Computing the Gamma function using contour integrals and rational approximations
- Mette Lund, An integral for the reciprocal Gamma function (页面存档备份,存于互联网档案馆)
- Milton Abramowitz & Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables
- Eric W. Weisstein, Gamma Function(页面存档备份,存于互联网档案馆), MathWorld