挠率张量

设 M 是切丛上带有联络 ∇ 的流形。挠率张量（有时也称为嘉当（挠率）张量）是一个向量值 2-形式，定义在向量场 X 于 Y上

${\displaystyle T(X,Y):=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,Y]\ ,}$ 

这里 [X,Y] 是两个向量场的李括号。由莱布尼兹法则，对任何光滑函数 f 有 T(fX,Y) = T(X,fY) = fT(X,Y)。所以 T 是一个张量，尽管是用非张量的共变导数定义的：它给出了切向量上的一个 2 形式，但共变导数只对向量场有定义。

曲率和比安基恒等式

联络 ∇ 的曲率张量是一个映射 TM ∧ TM → End(TM) ，定义在向量场 X, Y, 与 Z 上

${\displaystyle R(X,Y)Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z\ .}$ 

注意，对位于一点的向量，这个定义与这个向量如何扩张成一个向量场的方式无关（即定义了一个张量，类似于挠率）。

比安基恒等式联系了曲率和挠率。^[1] 将 X, Y 与 Z 的循环求和记为 ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$ ，例如

${\displaystyle {\mathfrak {S}}\left(R(X,Y)Z\right):=R(X,Y)Z+R(Y,Z)X+R(Z,X)Y\ .}$ 

那么下面的公式成立

1. 比安基第一恒等式：

${\displaystyle {\mathfrak {S}}\left(R(X,Y)Z\right)={\mathfrak {S}}\left(T(T(X,Y),Z)+(\nabla _{X}T)(Y,Z)\right)\ ,}$ 

2. 比安基第二恒等式：

${\displaystyle {\mathfrak {S}}\left((\nabla _{X}R)(Y,Z)+R(T(X,Y),Z)\right)=0\ .}$ 

挠率张量的分量

挠率张量在切丛的局部截面的基 (e₁, ..., e_n) 下可写成分量 ${\displaystyle T^{c}{}_{ab}}$ 。令 X=e_i，Y=e_j，引入交换子系数 γ^k_ije_k := [e_i,e_j]。那么挠率的分量是

${\displaystyle T^{k}{}_{ij}:=\Gamma ^{k}{}_{ij}-\Gamma ^{k}{}_{ji}-\gamma ^{k}{}_{ij},\quad i,j,k=1,2,\ldots ,n.}$ 

如果基是和乐的，则李括号变为零，${\displaystyle \gamma ^{k}{}_{ij}=0}$ ，从而 ${\displaystyle T^{k}{}_{ij}=2\Gamma ^{k}{}_{[ij]}}$ 。特别地（见下），测地线方程确定联络的对称部分，而挠率张量确定反对称部分。

挠率形式

挠率形式，是挠率的另一种刻画，适用于 M 的标架丛 FM。这个主丛装备有一个联络形式 ω，一个 gl(n)-值的 1-形式将竖直向量映到 gl(n) 中的右作用的生成元，且通过在 gl(n) 上的伴随表示等变纠缠于 GL(n) 在 FM 的切丛上的右作用。标架丛也带有一个典范 1 形式 θ，取值于 Rⁿ，定义在标架 u ∈ F_xM（视为一个线性函数 u : Rⁿ → T_xM）为

${\displaystyle \theta (X)=u^{-1}(d\pi (X))}$ 

这里 π : FM → M 是主丛的投影映射。那么挠率形式是

${\displaystyle \Theta =d\theta +\omega \wedge \theta \ .}$ 

等价地， Θ = Dθ，这里 D 是由联络确定的外共变导数。

挠率形式是一个取值于 Rⁿ的（水平）扭曲形式，意味着在 g ∈ Gl(n) 的右作用下等变：

${\displaystyle R_{g}^{*}\Theta =g^{-1}\cdot \Theta \ ,}$ 

这里 g 通过它在 Rⁿ 上的基本表示作用在左边。

曲率形式与比安基恒等式

曲率形式是 gl(n)-值 2-形式

${\displaystyle \Omega =D\omega =d\omega +\omega \wedge \omega \ .}$ 

这里，D 同样表示外共变导数。用曲率形式和挠率形式表示，相应的比安基恒等式为： ^[2]

1. ${\displaystyle D\Theta =\Omega \wedge \theta }$ 
2. ${\displaystyle D\Omega =0.\,}$ 

进一步，我们可以从曲率形式和挠率形式复原曲率和挠率。在 F_xM 中的点 u，我们有^[3]

${\displaystyle R(X,Y)Z=u\left(2\Omega (\pi ^{-1}(X),\pi ^{-1}(Y))\right)(u^{-1}(Z)),}$ 

${\displaystyle T(X,Y)=u\left(2\Theta (\pi ^{-1}(X),\pi ^{-1}(Y))\right),}$ 

这里 u : Rⁿ → T_xM 是确定纤维中标架的函数，且向量通过 π^-1 的提升与选取无关，因为曲率和挠率形式是水平的（它们在不确定的竖直向量上为 0）。

标架中的曲率形式

挠率形式可用底流形 M 上的联络形式，在切丛的一个特殊的标架 (e₁,...,e_n) 下写出。联络形式表述这些截面的外共变导数

${\displaystyle D{\mathbf {e} }_{i}=\sum _{j=1}^{n}{\mathbf {e} }_{j}\omega _{i}^{j}\ .}$ 

切丛的焊接形式（关于这个标架）是 e_i 的对偶基 θⁱ ∈ T^*M，所以 θⁱ(e_j) = δⁱ_j （克罗内克函数）

那么挠率 2-形式有分量

${\displaystyle \Theta ^{k}=d\theta ^{k}+\sum _{j=1}^{n}\omega _{j}^{k}\wedge \theta ^{j}=\sum _{i,j}T_{ij}^{k}\theta ^{i}\wedge \theta ^{j}\ .}$ 

在最右边的表达式中，

${\displaystyle T_{ij}^{k}=\theta ^{k}(\nabla _{\mathbf {e} _{i}}\mathbf {e} _{j}-\nabla _{\mathbf {e} _{j}}\mathbf {e} _{i}-[\mathbf {e} _{i},\mathbf {e} _{j}])}$ 

是挠率张量的标架分量，由首先的定义给出。

容易证明 Θⁱ 像张量一个变化：如果另一个标架

${\displaystyle {\tilde {\mathbf {e} }}_{i}=\sum _{j}\mathbf {e} _{j}g_{i}^{j}}$ 

对某个可逆矩阵值函数 (g_i^j)，那么

${\displaystyle {\tilde {\Theta }}^{i}=(g^{-1})_{j}^{i}\Theta ^{j}.}$ 

换句话说，Θ 是 (1,2) 型张量（一个反变、两个共变指标）。

做为另一种选择，焊接形式能用无标架形式刻画为 M 上的 TM-值 1形式θ，在对偶同构 End(TM) ≈ TM ⊗ T^*M 下对应于切丛的恒等同态。则挠率 2-形式是

${\displaystyle \Theta \in {\text{Hom}}(\wedge ^{2}TM,TM)}$ 

的一个截面，由

${\displaystyle \Theta =D\theta \ ,}$ 

给出。这里 D 是外共变导数（更多细节参见联络形式）。

不可约分解

挠率张量可以分解为两个不可约部分：不含迹的部分与包含迹的部分。用指标记法，T 的迹为

${\displaystyle a_{i}=T_{ik}^{k}\ ,}$ 

不含迹的部分为

${\displaystyle B_{jk}^{i}=T_{jk}^{i}+{\frac {1}{n-1}}\delta _{j}^{i}a_{k}-{\frac {1}{n-1}}\delta _{k}^{i}a_{j}}$ 

这里 δⁱ_j 是克罗内克函数。

本质上有，

${\displaystyle T\in \operatorname {Hom} \left(\wedge ^{2}TM,TM\right)\ .}$ 

T 的迹 tr T，是如下定义的 T^*M 中一个元素。对固定的任何向量X ∈ TM，T 定义了一个 Hom(TM, TM) 中一个元素 T(X)，通过

${\displaystyle T(X):Y\mapsto T(X\wedge Y)\ .}$ 

那么 (tr T)(X) 定义为这个同态的迹。这就是，

${\displaystyle (\operatorname {tr} \,T)(X){\stackrel {\text{def}}{=}}\operatorname {tr} (T(X))\ .}$ 

T 不含迹的部分为

${\displaystyle T_{0}=T-{\frac {1}{n-1}}\iota (\operatorname {tr} \,T)}$ 

这里 ι 表示内乘。

作为比安基恒等式的推论，1-形式 tr T 是一个闭 1-形式：

${\displaystyle d(\operatorname {tr} \,T)=0\ ,}$ 

这里 d 是外导数。

这一节中总是假设：M 是微分流形，∇ 是 M 切丛上的共变导数除非另外指明。

仿射进化

假设 x_t 是 M 上一条曲线。x_t 的仿射进化（英语：development (differential geometry)）定义为 T_x0M 中惟一的曲线 C_t 使得

${\displaystyle {\dot {C}}_{t}=\tau _{t}^{0}{\dot {x}}_{t},\quad C_{0}=0}$ 

这里

${\displaystyle \tau _{t}^{0}:T_{x_{t}}M\to T_{x_{0}}M}$ 

是与 ∇ 关联的平行移动。

特别地，如果 x_t 是一个闭环路，则 C_t 是否闭取决于联络的挠率。从而挠率解释为曲线的 development 的螺位错。这样，挠率与联络的和乐转移分量联系起来。相伴的曲率概念描绘了无穷小线性变换（在黎曼联络情形或为旋转）。

参考标架的扭曲

在经典曲线的微分几何中，弗莱纳公式描述了一个特别的活动标架（弗莱纳标架）沿着一条曲线怎样“扭曲”。用物理语言，挠率对应于一个假想的沿着曲线的陀螺的角动量。

带有（度量）联络的流形可类比地解释。假设一个观察者沿着这个联络下的测地线移动。这个观察者通常认为自己是在惯性参考系中，因为她没有经历过加速度。另外假设观察者携带着一个刚性直测量杆系统（一个坐标系）。每根杆都是直线段，一条测地线。假设每根杆沿着轨道都是平行移动，这些杆是沿着轨迹物理的“携带”的事实意味着是“李拖拽”或传播，所以沿着切向量每根杆子的李导数为零。类似于弗莱纳标架上的陀螺，它们可能经受力矩（或扭力）。这个力便由挠率衡量。

更准确地，假设观察者沿着测地线 γ(t) 移动，携带着一个测量杆。当观察者移动时，杆子扫过一个曲面。沿着这个曲面有一个自然坐标系 (t,x)，这里 t 是由观察者确定的时间参数，x 是沿着测量杆的长度。测量杆须沿着曲线平行移动的条件为

${\displaystyle \left.\nabla _{\partial /\partial \tau }{\frac {\partial }{\partial x}}\right|_{x=0}=0.}$ 

从而，挠率由

${\displaystyle \left.T\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial \tau }}\right)\right|_{x=0}=\left.\nabla _{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\right|_{x=0}.}$ 

给出。如果不是零，则杆上标出的这点（点 x =  常曲线）的轨迹为螺旋而不是测地线。它们将绕着观察者旋转。

这种挠率的解释在平行引力理论中扮演着重要的角色。平行引力理论，也称为爱因斯坦-嘉当理论，是相对论的一种替代性表述。

纤维的挠率

在材料科学中，特别是弹性理论，挠率的想法也扮演着重要的角色。其中一个问题^[4]是藤生长的建模，专注于藤如何能绕着对象缠绕。藤自身模型化为一对相互缠绕的弹性纤维。在其能量极小状态，藤自然生长成一个螺旋状。但是藤也有可能伸长以达到广度（或长度）最大化。在此情形，藤的挠率与这对纤维的挠率有关（或等价地，链接两条纤维的带子的曲面挠率），这反映了藤的长度最大化（测地线）布局与能量最小化布局之间的差异。

挠率与涡旋

在流体力学中，挠率自然与涡线相关。

假设 γ(t) 是 M 上一条曲线。则 γ 是一条仿射参数化测地线如果

${\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}(t)=0}$ 

对属于 γ的定义域中所有时间 t（这里点表示关于 t 求导，得到了 γ(t) 处切向量 ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$ ）。每条测地线由初始 t=0 切向量${\displaystyle {\dot {\gamma }}(0)}$  惟一确定。

联络的挠率的一个运用涉及到联络的测地波浪（geodesic spray）：粗略地讲为所有仿射参数化测地线。

用测地波浪将联络分类时，不同挠率不能区分开来：

• 两个联络 ∇ 与 ∇′ 具有相同的仿射参数化测地线（即相同的测地波浪），只在挠率有区别。^[5]

更准确地，如果 X 与 Y 是 p ∈ M的一对切向量，那么令

${\displaystyle \Delta (X,Y)=\nabla _{X}{\tilde {Y}}-\nabla '_{X}{\tilde {Y}}}$ 

是两个联络的差，用 X 与 Y 从 p 处的任意扩张计算。由莱布尼兹乘积法则，我们看出 Δ 事实上与 X 和 Y 如何扩张无关（所以定义了 M 上一个张量）。设 S与 A 分别为 Δ 的对称与交替部分：

${\displaystyle S(X,Y)={\tfrac {1}{2}}\left(\Delta (X,Y)+\Delta (Y,X)\right)}$ 

${\displaystyle A(X,Y)={\tfrac {1}{2}}\left(\Delta (X,Y)-\Delta (Y,X)\right)}$ 

则

• ${\displaystyle A(X,Y)={\tfrac {1}{2}}\left(T(X,Y)-T'(X,Y)\right)}$  是挠率张量之差。
• ∇ 与 ∇′ 定义了相同的仿射参数化测地线族当且仅当 S(X,Y) = 0。

换句话说，两个联络之差的对称部分决定了它们是否具有相同的参数化测地线，然而差的斜对称部分由这两个联络的相对挠率决定。另一个推论是

• 给定任何仿射联络 ∇，存在惟一一个无挠联络 ∇′ 具有共同的仿射参数化测地线。

这是黎曼几何基本定理到（也许无度量）仿射联络的一个推广。选出从属于一族参数化测地线惟一的联络也称为挠率的吸收，这是嘉当等价方法的一个使用之处。

• 曲率张量
• Contortion tensor
• 列维-奇维塔联络
• 曲线的挠率

• Bishop, R.L.; Goldberg, S.I., Tensor analysis on manifolds, Dover, 1980 
• Cartan, Elie. Sur les variétés à connexion affine, et la théorie de la relativité généralisée (première partie). Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. 1923, 40: 325–412 [2008-11-06]. （原始内容存档于2014-04-11）. 
• Cartan, Elie. Sur les variétés à connexion affine, et la théorie de la relativité généralisée (première partie) (Suite). Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. 1924, 41: 1–25 [2008-11-06]. （原始内容存档于2014-04-11）. 
• Elzanowski, M; Epstein, M, Geometric characterization of hyperelastic uniformity, Archive for Rational Mechanics and Analysis, 1985, 88 (4): pp 347—357, doi:10.1007/BF00250871  引文格式1维护：冗余文本 (link)
• Goriely, A.; Robertson-Tessi, M.; Tabor, M.; Vandiver, R., Elastic growth models (PDF), BIOMAT-2006 (Springer-Verlag), 2006, （原始内容 (PDF)存档于2006-12-29） 
• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi, Foundations of Differential Geometry 1 & 2 New edition, Wiley-Interscience, 19631996, ISBN 0471157333  引文格式1维护：冗余文本 (link)
• Spivak, Michael, A comprehensive introduction to differential geometry, Volume II, Houston, Texas: Publish or Perish, 1999, ISBN 0914098713