双调和方程式此条目没有列出任何参考或来源。 (2018年12月13日)维基百科所有的内容都应该可供查证。请协助补充可靠来源以改善这篇条目。无法查证的内容可能会因为异议提出而移除。在数学中,双调和方程是一个四阶偏微分方程式,出现在连体力学,包括线性弹性理论和史托克流的解。写成 ∇ 4 φ = 0 {\displaystyle \nabla ^{4}\varphi =0} {\displaystyle } 或 ∇ 2 ∇ 2 φ = 0 {\displaystyle \nabla ^{2}\nabla ^{2}\varphi =0} {\displaystyle } 或 Δ 2 φ = 0 {\displaystyle \Delta ^{2}\varphi =0} {\displaystyle } ∇ 4 {\displaystyle \nabla ^{4}} 为四阶的 Nabla算子,或是拉普拉斯算子的平方,称为双调和算子。 在 n 维座标下,以爱因斯坦求和约定可写成 {\displaystyle } {\displaystyle } {\displaystyle } ∇ 4 φ = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n ∂ i ∂ i ∂ j ∂ j φ . {\displaystyle \nabla ^{4}\varphi =\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\partial _{i}\partial _{i}\partial _{j}\partial _{j}\varphi .} {\displaystyle } 例如,在三维笛卡儿坐标系的双调和方程式写做 ∂ 4 φ ∂ x 4 + ∂ 4 φ ∂ y 4 + ∂ 4 φ ∂ z 4 + 2 ∂ 4 φ ∂ x 2 ∂ y 2 + 2 ∂ 4 φ ∂ y 2 ∂ z 2 + 2 ∂ 4 φ ∂ x 2 ∂ z 2 = 0. {\displaystyle {\partial ^{4}\varphi \over \partial x^{4}}+{\partial ^{4}\varphi \over \partial y^{4}}+{\partial ^{4}\varphi \over \partial z^{4}}+2{\partial ^{4}\varphi \over \partial x^{2}\partial y^{2}}+2{\partial ^{4}\varphi \over \partial y^{2}\partial z^{2}}+2{\partial ^{4}\varphi \over \partial x^{2}\partial z^{2}}=0.} {\displaystyle } 另外一个例子,在 n-维欧几里得空间, ∇ 4 ( 1 r ) = 3 ( 15 − 8 n + n 2 ) r 5 {\displaystyle \nabla ^{4}\left({1 \over r}\right)={3(15-8n+n^{2}) \over r^{5}}} {\displaystyle } 其中 r = x 1 2 + x 2 2 + ⋯ + x n 2 . {\displaystyle r={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.} {\displaystyle } 在 n=3 和 n=5 才能行成双调和方程式。 双调和方程式的解为双调和函数。任何调和函数都是双调和函数,但双调和函数不一定是调和函数。 在二维极坐标中,双调和方程为 1 r ∂ ∂ r ( r ∂ ∂ r ( 1 r ∂ ∂ r ( r ∂ φ ∂ r ) ) ) + 2 r 2 ∂ 4 φ ∂ θ 2 ∂ r 2 + 1 r 4 ∂ 4 φ ∂ θ 4 − 2 r 3 ∂ 3 φ ∂ θ 2 ∂ r + 4 r 4 ∂ 2 φ ∂ θ 2 = 0 {\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial \varphi }{\partial r}}\right)\right)\right)+{\frac {2}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{4}\varphi }{\partial \theta ^{2}\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r^{4}}}{\frac {\partial ^{4}\varphi }{\partial \theta ^{4}}}-{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {\partial ^{3}\varphi }{\partial \theta ^{2}\partial r}}+{\frac {4}{r^{4}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \theta ^{2}}}=0} 可用分离变数法求解,其解为 Michell solution(英语:Michell solution) 。