菱形镶嵌
在几何学中，菱形镶嵌（英语：rhombille tiling）[1]又称为三菱形镶嵌（英语：Order-6-3 quasiregular rhombic tiling）是一种由60° - 120°的菱形组成的平面镶嵌，菱形具有这种形状有时也被称为钻石。平面菱形镶嵌一共有二种顶点，其中一种是三个菱形120°度角的顶点的公共顶点，另外一个是60°度角的顶点的公共顶点。
 欧几里得平面 | ||
| 类别 | 拉夫斯镶嵌（Laves tiling） 平面镶嵌 | |
|---|---|---|
| 对偶多面体 | 截半六边形镶嵌 | |
| 数学表示法 | ||
| 考克斯特符号 |      | |
| 施莱夫利符号 | dr{6,3} | |
| 组成与布局 | ||
| 面的种类 | 60°–120°菱形 | |
| 面的布局 | V3.6.3.6 | |
| 对称性 | ||
| 对称群 | p6m, [6,3], *632 p3m1, [3[3]], *333 | |
| 旋转对称群 | p6, [6,3]+, (632) p3, [3[3]]+, (333) | |
| 特性 | ||
| 边可递、 面可递 | ||
| 图像 | ||
| ||
关于与“菱形镶嵌”标题相近或相同的条目，请见“菱形镶嵌 (消歧义)”。菱形镶嵌是19世纪时英国人流行的装饰[2]，亦可以称为：歪斜的方块、弄倒的积木、翻倒的方块（英语：tumbling blocks）[3]、可逆立方体（英语：reversible cubes）或骰子网格（英语：dice lattice）。
性质
菱形镶嵌可以视为六边形镶嵌以六边形的形心做为三个菱形的公共顶点所做的切割，每个菱形的对角线比是 。其为截半六边形镶嵌或戈薇网格的对偶，由于其为半正镶嵌的对偶，因此被归类为拉夫斯镶嵌（英语：Laves tiling），是11种半正镶嵌对偶之一，在一面体镶嵌记号中以[3.6.3.6]表示[4]。
它是56个可以由四边形完成密铺得等面镶嵌之一[5]，并且是8中具有边位于同一条直线上的对称镶嵌之一[6]。
菱形镶嵌可以嵌入成三维整数方格的子集，所组成的点(x,y,z)满足|x + y + z| ≤ 1，在这种状态下，两个顶点相邻当且仅当相应网格点仅距离彼此单位长，并且使得在镶嵌中的任意两个顶点之间的最短路径的边数是一样的相应网格点之间的曼哈顿距离。因此，菱形镶嵌可以作为无限单位距离图和局部立方体的一个示例[7]。
艺术和装饰
菱形镶嵌可以被解释为一组两种不同方式的立方体的等角投影视图，形成一个与可逆图相关的内克尔立方体。在这种情况下它被称为“可逆立方体”的错觉[8]，其外观看似两种方向共存的立方体，因为若一个形象可以解释成不止一种样子，我们的大脑就会使这形象在这些不同的解释之间来回摆动[9]。
在M. C. 艾雪的作品《变形I》、《变形II》和《变形III》[10]中艾雪采用这种可解释为两种不同方向立方体的密铺作为二维和三维形式之间变形的一种方式[11]。在他的其他作品中，如《Cycle》（1938）中，艾雪使用了与二维和三维立体镶嵌之间的张力：在他画的建筑中，同时具有较大的立方体块作为建筑元素（画等距）和楼上露台菱形镶嵌的瓷砖。从露台立方体走过去下楼梯的一个人随着高度的下降，逐渐变成二维的图形，又逐渐转化为立方体成为建筑物的一部分，最后变成露台地板瓷砖的菱形镶嵌，这种牵扯到维度的变化就是他的画风[12][13]。
相关多面体与镶嵌
菱形镶嵌是半正镶嵌对偶家族的一部分，对应的对偶为截半六边形镶嵌。
| 对称性: [6,3], (*632) | [6,3]+, (632) | [1+,6,3], (*333) | [6,3+], (3*3) | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| {6,3} | t0,1{6,3} | t1{6,3} | t1,2{6,3} | t2{6,3} | t0,2{6,3} | t0,1,2{6,3} | s{6,3} | h{6,3} | h1,2{6,3} | |
| 半正对偶 | ||||||||||
| V6.6.6 | V3.12.12 | V3.6.3.6 | V6.6.6 | V3.3.3.3.3.3 | V3.4.12.4 | V.4.6.12 | V3.3.3.3.6 | V3.3.3.3.3.3 | ||
菱形镶嵌是考克斯特群为[n,3]的菱形多面体与镶嵌系列的一分子，该系列始于立方体，它可以被看作是一个菱形六面体，其中菱形是从正方形开始。在这个序列中的第n个元素具有V3.n.3.n.的一个面布局。
| 对称群 *n32 [n,3] |
球面 | 欧氏镶嵌 | 紧凑型双曲镶嵌 | 仿紧型镶嵌 | 非紧型镶嵌 | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| *332 [3,3] Td |
*432 [4,3] Oh |
*532 [5,3] Ih |
*632 [6,3] p6m |
*732 [7,3] |
*832 [8,3]... |
*∞32 [∞,3] |
[iπ/λ,3] | |
| 拟正顶点 布局 |
3.3.3.3 |
3.4.3.4 |
3.5.3.5 |
3.6.3.6 |
3.7.3.7 |
3.8.3.8 |
3.∞.3.∞ |
3.∞.3.∞ |
| 考克斯特纪号 | ||||||||
| 对偶 (菱形) 顶点 布局 |
V3.3.3.3 |
V3.4.3.4 |
V3.5.3.5 |
V3.6.3.6 |
V3.7.3.7 |
V3.8.3.8 |
V3.∞.3.∞ |
|
| 考克斯特纪号 | ||||||||
参考文献
- ^ Conway, John; Burgiel, Heidi; Goodman-Strass, Chaim, Chapter 21: Naming Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, The Symmetries of Things, AK Peters: 288, 2008, ISBN 978-1-56881-220-5.
- ^ 陈非 <<新周刊>>第381期 互联网档案馆的存档，存档日期2014-07-14. 翻滚块（菱形镶嵌）第三节 第六段 [2014-6-9]
- ^ Smith, Barbara, Tumbling Blocks: New Quilts from an Old Favorite, Collector Books, 2002, ISBN 9781574327892.
- ^ Grünbaum, Branko; Shephard, G. C., Tilings and Patterns, New York: W. H. Freeman, 1987, ISBN 0-7167-1193-1. Section 2.7, Tilings with regular vertices, pp. 95–98.
- ^ Grünbaum & Shephard (1987), Figure 9.1.2, Tiling P4-42, p. 477.
- ^ Kirby, Matthew; Umble, Ronald, Edge tessellations and stamp folding puzzles, Mathematics Magazine, 2011, 84 (4): 283–289, MR 2843659, arXiv:0908.3257 , doi:10.4169/math.mag.84.4.283.
- ^ Deza, Michel; Grishukhin, Viatcheslav; Shtogrin, Mikhail, Scale-isometric polytopal graphs in hypercubes and cubic lattices: Polytopes in hypercubes and Zn, London: Imperial College Press: 150, 2004 [2014-06-08], ISBN 1-86094-421-3, MR 2051396, doi:10.1142/9781860945489, （原始内容存档于2014-07-22）.
- ^ Warren, Howard Crosby, Human psychology, Houghton Mifflin: 262, 1919 [2014-06-09], （原始内容存档于2014-07-28）.
- ^ Theoni Pappas, 陈以鸿译. 《數學放輕鬆》. 新北市: 世茂出版社. 2004: P.215. ISBN 9577766110.
- ^ 1994 M. C. Escher《Metamorphosis III》 CAordon Art-Baarn-Holland
- ^ Kaplan, Craig S., Metamorphosis in Escher's art, Bridges 2008: Mathematical Connections in Art, Music and Science (PDF): 39–46, 2008 [2014-06-09], （原始内容 (PDF)存档于2014-12-22）.
- ^ Escher, Maurits Cornelis, M.C. Escher, the Graphic Work, Taschen: 29–30, 2001 [2014-06-09], ISBN 9783822858646, （原始内容存档于2014-07-15）.
- ^ De May, Jos, Painting after M. C. Escher, Schattschneider, D.; Emmer, M. (编), M. C. Escher's Legacy: A Centennial Celebration, Springer: 130–141, 2003.
- ^ Schleining, Lon; O'Rourke, Randy, Tricking the eyes with tumbling blocks, Treasure Chests: The Legacy of Extraordinary Boxes, Taunton Press: 58, 2003 [2014-06-09], ISBN 9781561586516, （原始内容存档于2017-03-20）.
- ^ Tessellation Tango （页面存档备份，存于互联网档案馆）, The Mathematical Tourist, Drexel University, retrieved 2012-05-23.