韦尔—费伦结构

在几何学中，韦尔—费伦结构[1]是一种较复杂的三维结构，其代表了大小相等的气泡所形成的理想化泡沫结构之一。1993年都柏林大学三一学院的物理学家丹尼斯·韦尔和罗伯特·费伦用电脑模拟泡沫结构发现韦尔—费伦结构是克耳文问题里比克耳文结构更好的解。这种结构被用于北京市国家游泳中心建筑水立方的设计中。

韦尔—费伦结构
12-14-hedral honeycomb.png
类型堆砌
维度3
考克斯特记号
（英语：Coxeter notation）		2o
纤维流形记号[[4,3,4]+]
性质
胞五角十二面体 Irregular dodecahedron.png
空间填充十四面体 Space-filling tetrakaidecahedron.png
面五边形
六边形
对称性
空间群Pm3n (223)
特性
胞等体积

历史

克耳文1887年提出了一个问题：如何将空间划分为一系列等体积的胞，且每个胞的表面积最小。简而言之，效率最高的泡沫结构是什么？[2]这个问题被称为克耳文问题。

克耳文提出了一种基于截角八面体堆砌的泡沫结构，因此截角八面体堆砌又被称为克耳文结构。截角八面体堆砌是一种由截角八面体独立填满三维空间的几何结构，是凸均匀堆砌体的一种，其中截角八面体是一个空间填充十四面体，由6个正方形面和8个正六边形面组成。为了使其符合泡沫的经验定律普拉托定律[3][4]，克耳文结构中的截角八面体之六边形面有略微弯曲。

截角八面体堆砌是立方体经过过截角变换后的像。克耳文猜想这个结构是克耳文问题的最佳解，即经过截角变换后的立方体堆砌是效率最高的泡沫结构。这个猜想被广泛接受，且100年后才发现反例，该反例为韦尔—费伦结构。[5]

2009年，鲁格罗・加布里埃利（Ruggero Gabbrielli）[6]发表了一种使用斯威夫特–奥昂贝格方程（英语：Swift–Hohenberg equation）在最小曲面上找到克耳文问题候选解的方法。[7][8]

性质

韦尔—费伦结构与克耳文结构的皆具有每个胞体积相同的特性，其不同之处在于克耳文结构每个胞皆全等而韦尔—费伦结构是由2种不同形状的胞组合而成。[5][9]

胞的组成

韦尔—费伦结构由两种胞组成。从拓扑学与对称性的角度来看，韦尔—费伦结构的其中一个组成胞是五角十二面体，其为黄铁矿的一种晶体形状，外观类似正十二面体，但不是正多面体，并具有五角十二面体群的对称性（Th，一种四面体对称的变体）[5]。

另外一个组成胞为一种类似截对角六方偏方面体的形状，是一种由2个六边形和12个五边形组成的十四面体，这种形状有时称为戈柏十四面体（Goldberg polyhedron）[5]。

 
五角十二面体 		 
类似截对角六方偏方面体的空间填充十四面体

泡沫结构

类似于克耳文结构中的六边形略微弯曲的状况，韦尔—费伦结构中两种胞的五边形面也略微弯曲。韦尔—费伦结构的表面积比克耳文结构还要小0.3%，不过尚未有研究证实韦尔—费伦结构是克耳文问题的最佳解。部分实验表明，在有利的边界情况下，每个胞等体积的泡沫结构会自组装为 原子位置与韦尔—费伦结构中的多面体胞之几何中心重合的A15相（英语：A15 phases）[10][11]。

多面体结构

直接将上述两种多面体堆砌起来的几何结构也称为韦尔—费伦结构，其与前述结构差异在于，前述的韦尔—费伦结构面有弯曲，而若是在描述多面体堆砌体时，则会是讨论面皆为平面的状况。这种多面体堆砌结构在对应的泡沫结构被提出前就已经被发现了，然而发现当初尚未与克耳文问题做结合。[12]

在化学中，这种结构以及其两种胞的形状皆可以在晶体学中找到。若晶体的单元位于多面体的几何中心则可以形成一种弗兰克-卡巴斯尔相（英语：Frank–Kasper phases）[13][14]。

应用

 
2008年北京奥运水上项目比赛场馆的国家游泳中心建筑水立方。

被用于2008年北京奥运水上项目比赛场馆的国家游泳中心建筑水立方的外观气泡设计灵感来自韦尔—费伦结构[15][1]，其设计出的结构支撑系统不但很坚固也很轻巧。由于结构中所有的接缝都接近四面角，因此该框架用了很少的材料就能填满很大的空间，就像是二维的六边形蜂巢结构那样。[16][17][18]

参见

参考文献

  1. Ellery B. Golos; Daniel D. Joseph. Patterns in mathematics. Prindle, Weber & Schmidt. 1981. ISBN 978-0-87150-301-5. 
  1. ^ 1.0 1.1 卫报：北京奥运游泳馆“水立方”是物理学杰作. china.com.cn. 2004-05-14 [2019-09-29]. （原始内容存档于2004-09-05）. 
  2. ^ Lord Kelvin (Sir William Thomson), On the Division of Space with Minimum Partitional Area (PDF), Philosophical Magazine, 1887, 24 (151): 503 [2019-09-29], doi:10.1080/14786448708628135, （原始内容存档 (PDF)于2021-11-26） .
  3. ^ Jean E. Taylor. "The Structure of Singularities in Soap-Bubble-Like and Soap-Film-Like Minimal Surfaces". Annals of Mathematics, 2nd Ser., Vol. 103, No. 3. May, 1976, pp. 489–539.
  4. ^ Frederick J. Almgren Jr and Jean E. Taylor, “The geometry of soap films and soap bubbles”, Scientific American, vol. 235, pp. 82–93, July 1976.
  5. ^ 5.0 5.1 5.2 5.3 Wearie-Phelan Bubbles. steelpillow.com. [2019-09-29]. （原始内容存档于2019-08-06）. 
  6. ^ Gabbrielli, Ruggero. Ruggero Gabbrielli - Google Scholar Citations. scholar.google.com. 
  7. ^ Gabbrielli, Ruggero. A new counter-example to Kelvin's conjecture on minimal surfaces. Philosophical Magazine Letters. 2009-08-01, 89 (8): 483–491. ISSN 0950-0839. doi:10.1080/09500830903022651. 
  8. ^ Freiberger, Marianne. Kelvin's bubble burst again | plus.maths.org. Plus Magazine (University of Cambridge). 2009-09-24 [2017-07-04]. （原始内容存档于2019-09-29） （英语）. 
  9. ^ Șerban, D. A., Sărăndan, S., Negru, R., Belgiu, G., & Marşavina, L., A Parametric Study of the Mechanical Properties of Open-Cell Kelvin Structures, IOP Conference Series: Materials Science and Engineering 416 (1) (IOP Publishing), 2018, 416 (1): 012108 
  10. ^ Gabbrielli, R.; Meagher, A.J.; Weaire, D.; Brakke, K.A.; Hutzler, S., An experimental realization of the Weaire-Phelan structure in monodisperse liquid foam, Phil. Mag. Lett., 2012, 92: 1–6, doi:10.1080/09500839.2011.645898 .
  11. ^ Ball, Philip, Scientists make the 'perfect' foam: Theoretical low-energy foam made for real, Nature, 2011, doi:10.1038/nature.2011.9504 .
  12. ^ A diagram can be found in Pauling, Linus. The Nature of the Chemical Bond 3rd. Cornell University Press. 1960: 471. , as shown on Ken Brakke's page （页面存档备份，存于互联网档案馆）.
  13. ^ Frank, F. C.; Kasper, J. S., Complex alloy structures regarded as sphere packings. I. Definitions and basic principles (PDF), Acta Crystallogr., 1958, 11 (3): 184–190 [2019-09-29], doi:10.1107/s0365110x58000487, （原始内容存档 (PDF)于2021-08-31） 
  14. ^ Frank, F. C.; Kasper, J. S., Complex alloy structures regarded as sphere packings. II. Analysis and classification of representative structures, Acta Crystallogr., 1959, 12 (7): 483–499, doi:10.1107/s0365110x59001499 .
  15. ^ Fountain, Henry, A Problem of Bubbles Frames an Olympic Design, New York Times, 2008-08-05 [2019-09-29], （原始内容存档于2019-08-22） .
  16. ^ Beijing venues – National Aquatics Center. BBC Sports. [2019-09-29]. （原始内容存档于2019-10-18）. 
  17. ^ Peter Rogers. Welcome to WaterCube, the experiment that thinks it's a swimming pool. 2004-05-06 [2019-09-29]. （原始内容存档于2019-09-29）. 
  18. ^ Pearson, Clifford. Projects: National Swimming Center. Architectural Record (McGraw Hill). July 2008, 196 (7) [2008-08-16]. （原始内容存档于2008-08-13）.