无限阶四面体堆砌
在几何学中，无限阶四面体堆砌是一种位于双曲三维非紧空间的双曲正堆砌，由正四面体组成，每个棱都是无限多个正四面体的公共棱[注 1]，也因此使这个图形无法存于一般的三维空间中。这个图形每一个面都可以做为整个图形的镜射面[1]。
| 无限阶四面体堆砌 | |
|---|---|
 双曲庞加莱球体投影模型 | |
| 类型 | 双曲正堆砌 |
| 家族 | 堆砌 |
| 维度 | 三维双曲空间 |
| 对偶多胞形 | 三阶三阶无限边形镶嵌蜂巢体 |
| 数学表示法 | |
| 考克斯特符号 |      =    |
| 施莱夫利符号 | {3,3,∞} {3,(3,∞,3)} |
| 性质 | |
| 胞 | {3,3}  |
| 面 | {3}  |
| 组成与布局 | |
| 顶点图 | {3,∞}, {(3,∞,3)}  |
| 对称性 | |
| 对称群 | [∞,3,3] [3,((3,∞,3))] |
| 特性 | |
| 正 | |
性质
无限阶四面体堆砌每个顶点都是无限多个正四面体的公共顶点[注 1]，因此在施莱夫利符号中可以用{3,3,∞}来表示，其中{3,3}表示正四面体，在考克斯特-迪肯符号中也能用 来表示，其中 表示正四面体。
无限阶四面体堆砌可以视为一系列由正四面体组成的多面体数量之算术极限，非仅空间的四面体堆砌是从七阶四面体堆砌开始，因为六阶四面体堆砌是仿紧空间[2]，非仅空间的四面体堆砌除了无限阶之外也可以达到更高阶数，利用虚阶数表示其阶数比无穷大更多[3]，即超无限阶四面体堆砌，在考克斯特-迪肯符号中以 表示。
由于无限阶四面体堆砌全部都是由正四面体组成，每个顶点相同、边也等长，因此也是一种正几何图形，但其位于双曲三维非紧空间，因此有这种性质的正堆砌有无限多个。
无限阶四面体堆砌存在另外一种对称性比较低的[注 2]半正结构，就是将四面体的胞进行交错的表面涂色，换句话说，就是将该图形中的四面体交替地涂上不同颜色。这种结构在施莱夫利符号中表示为{3,(3,∞,3)}、考克斯特-迪肯符号可表示为 或 。在考克斯特群中，他们具有[3,3,∞,1+]的半对称性，也可以计为[3,((3,∞,3))][4]。
其他阶数的非紧四面体堆砌
| 八阶四面体堆砌 | |
|---|---|
| 类型 | 双曲正堆砌 |
| 家族 | 堆砌 |
| 维度 | 三维双曲空间 |
| 对偶多胞形 | 三阶八边形镶嵌蜂巢体 |
| 数学表示法 | |
| 考克斯特符号 | = |
| 施莱夫利符号 | {3,3,8} {3,(3,4,3)} |
| 性质 | |
| 胞 | {3,3} |
| 面 | {3} |
| 组成与布局 | |
| 顶点图 | {3,8} {(3,4,3)} |
| 对称性 | |
| 对称群 | [3,3,8] [3,((3,4,3))] |
| 特性 | |
| 正 | |
无限阶四面体堆砌是非紧四面体堆砌系列的极限，第一个非紧四面体堆砌是七阶四面体堆砌。
七阶四面体堆砌
七阶四面体堆砌是非紧四面体堆砌系列的第一个正图形，每个顶点都是七个正四面体的公共顶点。
八阶四面体堆砌
在几何学中，八阶四面体堆砌是一种位于双曲三维非紧空间的双曲正堆砌，由正四面体组成，在施莱夫利符号中用{3,3,8}来表示，考克斯特-迪肯符号中以 表示[5] 。每个棱都是八个正四面体的公共棱。
对称性
对称性比较低的形式就是在该图形表面交替地涂上不同颜色，可以利用循环表式的施莱夫利符号{3,(3,4,3)}或考克斯特符号 来表示，其对称性为[3,3,8,1+]，也写作[3,((3,4,3))]。
九阶四面体堆砌
| 九阶四面体堆砌 | |
|---|---|
| 类型 | 双曲正堆砌 |
| 家族 | 堆砌 |
| 维度 | 三维双曲空间 |
| 对偶多胞形 | 三阶九边形镶嵌蜂巢体 |
| 数学表示法 | |
| 考克斯特符号 | |
| 施莱夫利符号 | {3,3,9} |
| 性质 | |
| 胞 | {3,3} |
| 面 | {3} |
| 组成与布局 | |
| 顶点图 | ({3,9}) |
| 对称性 | |
| 对称群 | [9,3,3] |
| 特性 | |
| 正 | |
在几何学中，九阶四面体堆砌是一种位于双曲三维非紧空间的双曲正堆砌，由正四面体组成，在施莱夫利符号中用{3,3,9}来表示，考克斯特-迪肯符号中以 表示[5] 。每个棱都是九个正四面体的公共棱。
十阶四面体堆砌
十阶四面体堆砌是每个顶点为十个正四面体的公共顶点的双曲堆砌，其具有另一种较低对称性的表面涂色结构，可以利用循环表式的施莱夫利符号{3,(3,5,3)}或考克斯特符号 来表示，其对称性为[3,3,10,1+]，也写作[3,((3,5,3))]。
相关多胞体与堆砌
七阶四面体堆砌是一种由正四面体组成的堆砌，其他胞也由正四面体组成多胞体与堆砌或蜂巢体包含：
| {3,3,p}多胞体 | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 空间 | S3 | H3 | |||||||||
| 构造 | 有限 | 仿紧 | 非紧 | ||||||||
| 施莱夫利符号 考克斯特符号 |
{3,3,3} |
{3,3,4} |
{3,3,5} |
{3,3,6} |
{3,3,7} |
{3,3,8} |
... {3,3,∞} | ||||
| 图像 | |||||||||||
| 顶点图 | {3,3} |
{3,4} |
{3,5} |
{3,6} |
{3,7} |
{3,8} |
{3,∞} | ||||
参见
注释
参考文献
- Chapter 10: Regular honeycombs in hyperbolic space. The Beauty of Geometry: Twelve Essays. Dover Publications. 1999. ISBN 0-486-40919-8. LCCN 99035678.
- ^ George, Maxwell. Sphere Packings and Hyperbolic Reflection Groups. JOURNAL OF ALGEBRA. 1982, 79: 78–97 [2016-07-28]. doi:10.1016/0021-8693(82)90318-0. （原始内容存档于2013-06-30）.
- ^ The Beauty of Geometry: Twelve Essays (1999), Dover Publications, LCCN 99-35678, 互联网档案馆）)
- ^ Norman Johnson, Geometries and symmetries, (2015), Chapter 11. Finite symmetry groups, Section 11.2 The polygonal groups. p.141
- ^ Hao Chen, Jean-Philippe Labbé, Lorentzian Coxeter groups and Boyd-Maxwell ball packings, (2013)[1] （页面存档备份，存于互联网档案馆）
- ^ 5.0 5.1 Humphreys, 1990, page 141, 6.9 List of hyperbolic Coxeter groups, figure 2 [2] （页面存档备份，存于互联网档案馆）