实际数

一个正整数可以由其素因数分解看出是否是实际数^[3][4]，一正整数${\displaystyle n=p_{1}^{\alpha _{1}}...p_{k}^{\alpha _{k}}}$ ，其中${\displaystyle n>1}$ ，素因数为${\displaystyle p_{1}<p_{2}<\dots <p_{k}}$ ，其为实际数当且仅当${\displaystyle p_{1}=2}$ ，且对于每个2到k之间的i：

${\displaystyle p_{i}\leq 1+\sigma (p_{1}^{\alpha _{1}}\dots p_{i-1}^{\alpha _{i-1}})=1+\prod _{j=1}^{i-1}{\frac {p_{j}^{\alpha _{j}+1}-1}{p_{j}-1}},}$ 

其中${\displaystyle \sigma (x)}$ 为x的除数函数。

例如3 ≤ σ(2)+1 = 4，29 ≤ σ(2 × 3²)+1 = 40，及823 ≤ σ(2 × 3² × 29)+1=1171，因此2 × 3² × 29 × 823 = 429606为一实际数。

由于以上条件成立时，才能用其他较小的约数和表示${\displaystyle p_{i}-1}$ ，因此是一正数为实际数的必要条件。上述条件也是一正数为实际数的充份条件。

所有2的幂都是实际数^[2]。2的幂的素因数分解满足实际数的充份必要条件：第一个素因数为2。所有偶数的完全数也都是实际数^[2]：依照欧拉的研究，偶数的完全数可以表示为2^n − 1(2ⁿ − 1)，其奇数的素因数可以用其他偶数部分的除数函数来表示，因此也满足实际数的充份必要条件。

任一个素数阶乘也都是实际数^[2]。根据伯特兰－切比雪夫定理，素数阶乘中最大的素数会小于次大素数和最小素数（2）的乘积，因此满足实际数的充份必要条件。前k个素数幂次的乘积也都是实际数，包括阶乘以及斯里尼瓦瑟·拉马努金提出的高合成数^[2]。

若n为实际数，则小于1的有理数m/n可以表示∑d_i/n来表示，其中d_i为n的相异约数，此式的每一项都可以化简为单位分数，因此此式即为m/n的埃及分数表示式。例如

${\displaystyle {\frac {13}{20}}={\frac {10}{20}}+{\frac {2}{20}}+{\frac {1}{20}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{20}}.}$ 

斐波那契在其著作《计算之书》（Liber Abaci）中列出许多用埃及分数表示有理数的方式，首先先确认分数是否可以直接化简为单位分数，再来则是设法将分子表示为分母约数的和，此方式只在分母为实际数时有效^[1]。斐波那契列出了分母为6, 8, 12, 20, 24, 60及100时，分数用埃及分数表示时的表示式。

实际数特别的一点是其许多性质都类似素数。例如假设p(x)为小于x实际数的个数，Saias证明存在常数c₁及 c₂使得下式成立^[8]：

${\displaystyle c_{1}{\frac {x}{\log x}}<p(x)<c_{2}{\frac {x}{\log x}},}$ 

以上公式可以对应素数的素数定理。此证明解答了Margenstern的猜想：存在特定常数c，使得p(x)渐近于cx/log x^[6]。也强化了保罗·埃尔德什所提出：实际数在正整数中的密度为0的论点^[9]。

实际数也有对应哥德巴赫猜想及孪生素数猜想的定理：每一个偶数可以表示为二个实际数的和，以及存在无限多个 x − 2, x, x + 形式的实际数^[7]。Melfi也证明在斐波那契数列中存在无限多个实际数，素数对应的问题是是否存在无限多个斐波那契素数，此问题仍为开放问题，还没有被证明，但也还找不到反例。Hausman及Shapiro证明若x为正实数，在[x²,(x + 1)²]区间内存在实际数，可以对应素数中的勒让德猜想^[5]。

• Tables of practical numbers （页面存档备份，存于互联网档案馆） compiled by Giuseppe Melfi
• Practical Number at PlanetMath.
• 埃里克·韦斯坦因. Practical Number. MathWorld.