乒乓引理

群论中,乒乓引理(ping-pong lemma)给出了一个充分条件,保证一个中数个子群生成的群是这些子群的自由积

历史

使用乒乓引理的论证法可以追溯至19世纪后期,通常认为是菲利克斯·克莱因最先使用[1],他研究克莱因群的子群常常用到。雅克·蒂茨在他一篇1972年的文章中[2],证明著名的蒂茨两择性(Tits alternative)结果,一个主要工具就是乒乓引理。这结果指出任何有限生成线性群,或是一个逼肖可解群(virtually solvable group),或是包含一个秩2的自由子群。乒乓引理及其引申结果广泛应用于几何拓扑学几何群论

定理叙述

G作用集合X上,H1H2G的非平凡子群,HH1H2生成的群。若X有两个不交非空子集X1X2,使得

  • 对所有 ,都有 
  • 对所有 ,都有 

HH1H2自由积,即 ,或者 ,而H二面体群

证明

w是用H1H2的元素写出的非空简约。若 ,其中  ,则

 

 。同上得 

H1H2不都等于2,不失一般性,假设 。若 ,取 ,则 ,故由上可知

 

 。若 ,取 ,则 ,同上可得 ,故 。因此得出 

 ,令  。从上可知若有以a, b写出的非空简约字w等于1,则w只可能是  ,故对某些数n > 0有 。取其最小者的值为n,则H二面体群 。若无如此简约字w,则 

推广

乒乓引理可以推广至数个子群的情形:

G作用集合X上。又设H1, H2, ... , HkG的非平凡子群,且当中至少一个的不小于3。若X两两不交的非空子集X1, X2, ... , Xk,使得当 时,对所有 ,都有 。则H1, H2, ... , Hk所生成的群是其自由积,即

 

这条定理的证明与两个子群时的证明类似。

应用例子

特殊线性群

矩阵  在特殊线性群 中生成的子群是秩2的自由群

证明

 线性变换作用在平面 上。 设这两个矩阵各自生成子群

 
 

又设平面的两个不交子集为

 
 

H1, H2同构于无限循环群。因为H1, H2, X1, X2适合乒乓引理的条件,由乒乓引理得出H1, H2生成的群为其自由积,而两个无限循环群的自由积为秩2的自由群

参考

  • Lyndon, Roger; Schupp, Paul. Combinatorial Group Theory. Classics in Mathematics. Germany: Springer-Verlag. 2001: 167 [1977]. ISBN 3-540-41158-5. 
  1. ^ La Harpe, Pierre de. Topics in Geometric Group Theory. Chicago: The University of Chicago Press. 2000. ISBN 0-226-31721-8. 
  2. ^ J. Tits. Free subgroups in linear groups.[永久失效链接] Journal of Algebra, vol. 20 (1972), pp. 250–270