设G为群,作用在集合X上,H1和H2是G的非平凡子群,H是H1和H2生成的群。若X有两个不交非空子集X1和X2,使得
- 对所有 ,都有
- 对所有 ,都有
则H是H1和H2的自由积,即 ,或者 ,而H是二面体群。
证明
设w是用H1和H2的元素写出的非空简约字。若 ,其中 , ,则
-
故 。同上得 。
若H1和H2的阶不都等于2,不失一般性,假设 。若 ,取 ,则 ,故由上可知
- ,
得 。若 ,取 ,则 ,同上可得 ,故 。因此得出 。
若 ,令 , 。从上可知若有以a, b写出的非空简约字w等于1,则w只可能是 或 ,故对某些数n > 0有 。取其最小者的值为n,则H为二面体群 。若无如此简约字w,则 。
推广
乒乓引理可以推广至数个子群的情形:
设G为群,作用在集合X上。又设H1, H2, ... , Hk是G的非平凡子群,且当中至少一个的阶不小于3。若X有两两不交的非空子集X1, X2, ... , Xk,使得当 时,对所有 ,都有 。则H1, H2, ... , Hk所生成的群是其自由积,即
- 。
这条定理的证明与两个子群时的证明类似。
特殊线性群
矩阵 和 在特殊线性群 中生成的子群是秩2的自由群。
证明
群 以线性变换作用在平面 上。
设这两个矩阵各自生成子群
-
-
又设平面的两个不交子集为
-
-
H1, H2都同构于无限循环群。因为H1, H2, X1, X2适合乒乓引理的条件,由乒乓引理得出H1, H2生成的群为其自由积,而两个无限循环群的自由积为秩2的自由群。