最大模原理
在复分析中,最大模原理说明,如果 f 是一个全纯函数且不是常数,那么它的模在定义域内取不到局部最大值。
换句话说,全纯函数 f 要么是常数函数,要么对于其定义域之内的任意点 z0,都存在任意靠近它的点 z,使得。
正规陈述
设复值函数 f 在复平面 C 的连通开子集 D 上全纯。如果存在 ,使得对z0的某个邻域上的任意点 z 都有 (即 是模的局部最大值点),那么函数 f 是 D 上的常数函数。
通过取倒数,可以得到等价的最小模原理:设f在有界区域D的内部全纯,并连续到D的边界上,而且没有零点,则|f(z)|的最小值在D的边界上取得。
另外,最大模原理可视为开映射定理的特殊情况,即非常数的全纯函数把开集映为开集。若|f|在点z处取得极大值,则z的一个充分小的开邻域的像不可能是开的。因此,f是常数。
证明概要
利用调和函数的最大值原理
用复变量自然对数的等式
推导出 是调和函数。由于 z0 是这个函数的一个极大值,根据最大值原理, 在定义域上是常数。因此,运用柯西-黎曼方程可以得到 ,于是f(z) 是常数函数。通过类似的论证可以得到,|f|的极小值只能在f(z)的孤立零点处取得。
物理解释
用热传导方程可以给出这个原理的一个物理解释。由于 是调和函数,所以可以看作是区域D上的稳定态热流。假设区域D的内部取得严格最大值,则这一最大值点的热量会向周围传导,这与稳定态是相互矛盾的。
应用
最大模原理在复分析中有许多应用,可以用来证明:
- 代数基本定理,使用最大模原理的证明是一个基本的复分析的证明,可以在很多复分析教材中看到。
- 施瓦茨引理,在复分析中有许多推广和应用。
- 其推广是弗拉格门-林德洛夫原理,将结果推广到定义域无界的函数。
- 博雷尔-卡拉西奥多里定理
参考来源
- E.C. Titchmarsh,The Theory of Functions (2nd Ed) (1939) Oxford University Press. (See chapter 5.)
- E.D. Solomentsev, Maximum-modulus principle, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
外部链接
- 埃里克·韦斯坦因. Maximum Modulus Principle. MathWorld.
- The Maximum Modulus Principle by John H. Mathews