拉克斯－米尔格拉姆定理

设

• ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ 是实希尔伯特空间，其内积记作${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ，导出范数${\displaystyle \|\cdot \|}$ ，
• ${\displaystyle a(\cdot ,\cdot )}$ 是双线性型，使得

• 在${\displaystyle {\mathcal {H}}\times {\mathcal {H}}}$ 上连续：

${\displaystyle \exists \,c>0,\forall (u,v)\in {\mathcal {H}}^{2}\,,\ |a(u,v)|\leq c\|u\|\|v\|}$ ，

• 在${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ 上强制（有称为${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ －椭圆性)：

${\displaystyle \exists \,\alpha >0,\forall u\in {\mathcal {H}}\,,\ a(u,u)\geq \alpha \|u\|^{2}}$ ，

• ${\displaystyle L}$ 是${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ 上的连续线性型。

那么存在唯一的${\displaystyle u\in {\mathcal {H}}}$ ，使得对所有${\displaystyle v\in {\mathcal {H}}}$ 都有${\displaystyle a(u,v)=Lv}$ ：

${\displaystyle (1)\quad \exists !\ u\in {\mathcal {H}},\ \forall v\in {\mathcal {H}},\quad a(u,v)=Lv}$ 。

而且如果${\displaystyle a}$ 是对称的，那么${\displaystyle u}$ 是${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ 中唯一的元素，使得以下泛函取最小值${\displaystyle J:{\mathcal {H}}\rightarrow \mathbb {R} }$ ，${\displaystyle J(v)={\tfrac {1}{2}}a(v,v)-Lv}$ 对所有${\displaystyle v\in {\mathcal {H}}}$ ，即：

${\displaystyle (2)\quad \exists !\ u\in {\mathcal {H}},\quad J(u)=\min _{v\in {\mathcal {H}}}\ J(v)}$ 。

一般情形

套用里斯表示定理到连续线性型上，可知存在唯一的${\displaystyle f\in {\mathcal {H}}}$ ，使得${\displaystyle Lv=\langle f,v\rangle }$ 对任意${\displaystyle v\in {\mathcal {H}}}$ 成立。

对所有${\displaystyle u\in {\mathcal {H}}}$ ，映射${\displaystyle v\mapsto a(u,v)}$ 是${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ 上连续线性型，因此同样可知存在唯一的${\displaystyle A_{u}\in {\mathcal {H}}}$ ，使得${\displaystyle a(u,v)=\langle A_{u},v\rangle }$ 对任意${\displaystyle v\in {\mathcal {H}}}$ 成立。易知算子${\displaystyle A:u\mapsto A_{u}}$  是一个${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ 上连续线性自同态。由此可把${\displaystyle (1)}$ 表示成如下等价形式：

${\displaystyle \exists !\ u\in {\mathcal {H}},\ Au=f}$ 

要证明此命题，只要证得${\displaystyle A}$ 是从${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ 到${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ 的双射。首先证明它是单射，再证它是满射。

从${\displaystyle a}$ 的强制性，使用柯西－施瓦茨不等式，得到对任何${\displaystyle v\in {\mathcal {H}}}$ 

${\displaystyle \alpha \|v\|^{2}\leq a(v,v)=\langle Av,v\rangle \leq \|Av\|\|v\|}$ 

从而知对任何${\displaystyle v\in {\mathcal {H}}}$ 

${\displaystyle \|Av\|\geq \alpha \|v\|}$  (*)。

这证明了${\displaystyle A}$ 是单射。

要证明满射，考虑算子${\displaystyle A}$ 在${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ 内的像${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$ 。

不等式(*)表示，如${\displaystyle Au_{n}}$ 是柯西序列，那么${\displaystyle u_{n}}$  是${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ 内的柯西序列。由${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ 的完备性，${\displaystyle u_{n}}$ 收敛至${\displaystyle u\in {\mathcal {H}}}$ 。因${\displaystyle A}$ 连续，得出${\displaystyle Au_{n}}$ 收敛至${\displaystyle Au}$ 。

${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$ 因此为${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ 中的闭子空间，由投影定理可知${\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {Z}}\oplus {\mathcal {Z}}^{\perp }}$ 。

再设元素${\displaystyle w\in {\mathcal {Z}}^{\perp }}$ ，从定义有${\displaystyle \langle Aw,w\rangle =0}$ ，因此

${\displaystyle \alpha \|w\|^{2}\leq a(w,w)=\langle Aw,w\rangle =0}$ 

故得${\displaystyle w=0}$ 。所以${\displaystyle {\mathcal {Z}}^{\perp }}$ 为${\displaystyle \{0\}}$ ，证得${\displaystyle A}$ 是满射。

自同态${\displaystyle A}$ 是双射，故在${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ 内存在唯一的${\displaystyle u}$ 使得${\displaystyle Au=f}$ ，且可以由${\displaystyle u=A^{-1}f}$ 得出。

附注

不用求出${\displaystyle u}$ ，有其范数的上界估计

${\displaystyle \|u\|\leq {\frac {\|L\|'}{\alpha }}}$ 

其中${\displaystyle \|\cdot \|'}$ 表示对偶空间${\displaystyle {\mathcal {H}}^{*}}$ 的范数。

对称情形

如果双线性型${\displaystyle a}$ 对称，那么对所有${\displaystyle w\in {\mathcal {H}}}$ 有：

${\displaystyle J(u+w)=J(u)+{\Big (}a(u,w)-Lw{\Big )}+{\frac {1}{2}}a(w,w)}$ 

因${\displaystyle u}$ 是命题(1)的唯一解，有

${\displaystyle J(u+w)=J(u)+{\frac {1}{2}}a(w,w)}$ 

从${\displaystyle a}$ 的强制性有：

${\displaystyle J(u+w)\geq J(u)+{\frac {\alpha }{2}}\|w\|^{2}}$ 

取${\displaystyle v=u+w}$ ，从上式有${\displaystyle J(u)\leq J(v)}$ 对任意${\displaystyle v\in {\mathcal {H}}}$ 成立，因而得到${\displaystyle (2)}$ 的结果。

这定理是有限元法的基础。实际上，若不在${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ 内求${\displaystyle u}$ ，而是在${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ 的有限${\displaystyle n}$ 维子空间${\displaystyle {\mathcal {H}}_{n}}$ 内求${\displaystyle u_{n}}$ ，那么

• 如果${\displaystyle a}$ 对称，以${\displaystyle a}$ 为内积，${\displaystyle u_{n}}$ 是${\displaystyle u}$ 的投影。
• 给出${\displaystyle {\mathcal {H}}_{n}}$ 的基${\displaystyle (\varphi _{i})}$ ，上述问题化为求解线性方程组：

${\displaystyle {\underline {\underline {A}}}{\underline {u_{n}}}={\underline {b}}}$ 

其中${\displaystyle A_{ij}=a(\varphi _{j},\varphi _{i})}$ ，${\displaystyle b_{i}=L\varphi _{i}}$ 。