导引
假设,一个物理系统的量子态为 ,则算符 的期望值对于时间的导数为
-
薛定谔方程表明哈密顿算符 与时间 的关系为
- 。
其共轭复数为
- 。
因为哈密顿算符是厄米算符, 。所以,
- 。
将这三个方程代入 的方程,则可得到
- 。
所以,埃伦费斯特定理成立:
- 。
实例
使用埃伦费斯特定理,可以简易地证明,假若一个物理系统的哈密顿量显性地不含时间,则这系统是保守系统。
从埃伦费斯特定理,可以计算任何算符的期望值对于时间的导数。特别而言,速度的期望值和加速度的期望值。知道这些资料,就可以分析量子系统的运动行为。
守恒的哈密顿量
考虑哈密顿算符 :
- 。
假若,哈密顿量显性地不含时间, ,则
- ,
哈密顿量是个常数 。
位置的期望值对于时间的导数
试想一个质量为 的粒子,移动于一维空间.其哈密顿量是
- ;
其中, 为位置, 是动量, 是位势。
应用埃伦费斯特定理,
- 。
由于 ,位置的期望值对于时间的导数等于速度的期望值:
- 。
这样,可以得到动量 的期望值。
动量的期望值对于时间的导数
应用埃伦费斯特定理,
- 。
由于 与自己互相交换,所以, 。又在坐标空间里,动量算符 不含时间: 。所以,
- 。
将泊松括号展开,
- 。
使用乘法定则,
- 。
在量子力学里,动量的期望值对于时间的导数,等于作用力 的期望值。
经典极限
取经典极限[2], ,则可得到一组完全的量子运动方程:
- ,
- 。
这组量子运动方程,精确地对应于经典力学的运动方程:
- ,
- 。
取“经典极限”,量子力学的定律约化为经典力学的定律。这结果也时常被称为埃伦费斯特定理。这经典极限是什么呢?标记 为 。设定 。泰勒展开 于 :
- 。
由于 , ,
- 。
这近似方程右手边的第二项目就是误差项目。只要这误差项目是可忽略的,就可以取经典极限。而这误差项目的大小跟以下两个因素有关:
- 一个是量子态对于位置的不可确定性。
- 另一个则是位势随着位置而变化的快缓。
参阅
参考文献
- ^ Smith, Henrik. Introduction to Quantum Mechanics. World Scientific Pub Co Inc. 1991: pp. 108–109. ISBN 978-9810204754.
- ^ Tannor, David J. Introduction to Quantum Mechanics: A Time-Dependent Perspective. University Science Books. 2006: pp. 35–38. ISBN 978-1891389238.