代数 (环论)

给定一个交换环 ${\displaystyle A}$  。

代数

给定一个四元组 ${\displaystyle (E,+,.,\times )}$  。如果以下两个条件成立：

1. ${\displaystyle (E,+,\cdot )}$  是一个 ${\displaystyle A}$ -模。
2. ${\displaystyle \times }$ 是一个 ${\displaystyle E}$  的内部运算（即${\displaystyle \times :E\times E\rightarrow E}$ ），并且是${\displaystyle A}$ -双线性的。也就是说内部运算${\displaystyle \times }$ 符合以下三点：
   • ${\displaystyle \forall x,y,z\in E,\qquad \qquad (x+y)\times z=x\times z+y\times z}$ 
   • ${\displaystyle \forall x,y,z\in E,\qquad \qquad x\times (y+z)=x\times y+x\times z}$ 
   • ${\displaystyle \forall a\in A,\forall x,y\in E,\quad (a\cdot x)\times y=a\cdot (x\times y)=x\times (a\cdot y)}$ 

那么我们说四元组 ${\displaystyle (E,+,\cdot ,\times )}$  是一个 ${\displaystyle A}$  上的代数（或称 ${\displaystyle A}$ -代数），或简称集合 ${\displaystyle E}$  是一个${\displaystyle A}$ -代数。

结合代数、有单位的代数、交换代数

设 ${\displaystyle (E,+,\cdot ,\times )}$  为一个 ${\displaystyle A}$ -代数。

• 如果内部运算${\displaystyle \times }$ 符合结合律，那么我们说 ${\displaystyle E}$  是一个结合代数。
• 如果内部运算${\displaystyle \times }$ 有一个单位元（即 ${\displaystyle \exists 1_{E}\in E,\forall x\in E,1_{E}\times x=x=x\times 1_{E}}$ ），那么此单位元是唯一的并且我们说 ${\displaystyle E}$  是一个有单位的代数。
• 如果内部运算${\displaystyle \times }$ 符合交换律，那么我们说 ${\displaystyle E}$  是一个交换代数。

注：有些作者用结合代数来称呼结合且有单位的代数，或是用交换代数来称呼结合、有单位且交换的代数。本页面使用上述段落给的定义而不采用这些称呼。

一样给定一个交换环 ${\displaystyle A}$  。

给定一个四元组 ${\displaystyle (E,+,\cdot ,\times )}$  。 这是一个${\displaystyle A}$ 上的结合代数（${\displaystyle resp.}$ 结合且有单位的代数、${\displaystyle resp.}$ 结合、有单位且交换的代数）当且仅当以下三个条件成立：

1. ${\displaystyle (E,+,\cdot )}$  是一个 ${\displaystyle A}$ -模。
2. ${\displaystyle (E,+,\times )}$  是一个么环（${\displaystyle resp.}$ 一个环、${\displaystyle resp.}$ 一个交换环）。
3. ${\displaystyle \times }$ 是一个 ${\displaystyle E}$  的内部运算（即${\displaystyle \times :E\times E\rightarrow E}$ ），并且是${\displaystyle A}$ -双线性的。

注：上述条件中的第三个条件在第一及第二条件成立下等价为：

• ${\displaystyle \times }$ 是一个 ${\displaystyle E}$  的内部运算（即${\displaystyle \times :E\times E\rightarrow E}$ ），并符合${\displaystyle \forall a\in A,\forall x,y\in E,\quad (a\cdot x)\times y=a\cdot (x\times y)=x\times (a\cdot y)}$ 

上述只是将最初定义重整理一次。然而我们可以用别种结构来理解结合且有单位的代数：

• 给定一个结合且有单位的 ${\displaystyle A}$ -代数 ${\displaystyle E}$  就等于给定一个二元组 ${\displaystyle (E,f)}$ ：其中 ${\displaystyle E}$  是一个环，而 ${\displaystyle f:A\rightarrow E}$  是一个满足${\displaystyle f(A)\subset Z(E)}$  的环同态。（${\displaystyle Z(E)}$  代表环 ${\displaystyle E}$  的中心，也就是 ${\displaystyle Z(E)=\{x\in E:\forall y\in E,x\times y=y\times x\}}$ ）。

原因是如果 ${\displaystyle E}$  是一个结合且有单位的${\displaystyle A}$ -代数，那么 ${\displaystyle E}$  是一个环并且 ${\displaystyle f:a\in A\longmapsto a\cdot 1_{E}\in E}$  是一个环同态，满足${\displaystyle f(A)\subset Z(E)}$ 。反过来看，如果 ${\displaystyle E}$  是一个环，而 ${\displaystyle f:A\rightarrow E}$  是一个满足 ${\displaystyle f(A)\subset Z(E)}$  的环同态，那么我们可以定义外部运算${\displaystyle \cdot :A\times E\to E,(a,x)\longmapsto f(a)\times x}$ （即${\displaystyle a\cdot x{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}f(a)\times x}$ ）。${\displaystyle E}$  上环的结构与此外部运算结构使其成为一个 ${\displaystyle A}$ -模并且成为一个结合且有单位的 ${\displaystyle A}$ -代数。

将上述性质套用在交换环上，我们便可得到结合、有单位且交换的代数的另一种看法：

• 给定一个结合、有单位且交换的 ${\displaystyle A}$ -代数 ${\displaystyle E}$  就等于给定一个二元组 ${\displaystyle (E,f)}$ ：其中 ${\displaystyle E}$  是一个交换环，而 ${\displaystyle f:A\rightarrow E}$  是一个的环同态。

设 ${\displaystyle E,F}$  是 ${\displaystyle A}$ -代数，${\displaystyle A}$ -模间的同态 ${\displaystyle \phi :E\rightarrow F}$  被称作 ${\displaystyle A}$ -代数间的同态，当且仅当它满足 ${\displaystyle \forall x,y\in E,\;\phi (xy)=\phi (x)\phi (y)}$ 。因此所有 ${\displaystyle A}$ -代数构成一个范畴，也可以探讨代数间的同构。详阅主条目代数同态。

设 ${\displaystyle E}$  是 ${\displaystyle A}$ -代数。当 ${\displaystyle E}$  是个自由的有限秩 ${\displaystyle A}$ -模（当 ${\displaystyle A}$  为域且${\displaystyle \dim _{A}E<\infty }$  时自动成立）时，可选定一组基底 ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$ ，并将乘法写作

${\displaystyle e_{i}e_{j}=\sum _{k}c_{ij}^{k}e_{k}\quad }$  （采用爱因斯坦记号）

此时常数 ${\displaystyle c_{ij}^{k}\in A}$  称作 ${\displaystyle E}$  对基底 ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$  的结构常数。

• 对于${\displaystyle n\geq 2}$ ，矩阵环 ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {R} )}$  附上矩阵乘法是一个非交换但结合且有单位的${\displaystyle \mathbb {R} }$ -代数。
• 对二阶以上的矩阵环，假设域的特征不等于 2。定义新的乘法为 ${\displaystyle \{X,Y\}=(XY+YX)/2}$ ，此时得到一个交换、非结合、无单位的代数。这是一个约当代数的例子。
• 欧氏空间 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$  对其外积构成一个非交换、非结合且无单位的 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ -代数。这是一个李代数的例子。
• 四元数 ${\displaystyle \mathbb {H} }$  是一个非交换但结合且有单位的 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ -代数。
• 八元数 ${\displaystyle \mathbb {O} }$  是一个非交换、非结合但有单位的 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ -代数。
• 考虑所有在正无穷有极限且极限为0的函数${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ 所形成的集合，附上一般的运算会是一个结合且交换但无单位的${\displaystyle \mathbb {R} }$ -代数。

除了交换结合代数外，一般常研究的几类代数包括李代数、克利福德代数、约当代数等等。近来一些物理学家运用的几何代数也是一例。

代数上也可以赋予拓扑结构，并要求代数运算是连续的；最突出的例子是巴拿赫代数，这是现代泛函分析的基石之一。

• 结合代数
• 代数同态
• 李代数

• Nicholas Bourbaki, Algèbre: tome 1. Chapitres 1 à 3 ISBN 2-903684-00-6