诺特群

设${\displaystyle G}$ 是一个群。那么以下条件等价，满足此条件的群称为诺特群。

• ${\displaystyle G}$ 的子群格 ${\displaystyle \operatorname {Sub} (G)}$ 满足升链条件。
• ${\displaystyle G}$ 的所有子群都是有限生成群。

关于诸运算的封闭性

诺特群的子群以及商群是诺特群。诺特群被诺特群的扩张仍是诺特群。

诺特可解群

对于群${\displaystyle G}$ ，以下条件等价。^[1]:165

• ${\displaystyle G}$ 是可解群，并且是诺特群。
• 存在${\displaystyle G}$ 的子群列${\displaystyle 1=G_{0}\vartriangleleft G_{1}\vartriangleleft \cdots \vartriangleleft G_{n}=G}$ ，使得对于每个${\displaystyle i=0,\dots ,n-1}$ 有${\displaystyle G_{i}\vartriangleleft G_{i+1}}$ 且${\displaystyle G_{i+1}/G_{i}}$ 是循环群。

满足这个条件的群称为多循环群。

对于幂零群${\displaystyle G}$ ，以下条件等价。^[1]:145

• ${\displaystyle G}$ 是诺特群。
• ${\displaystyle G}$ 是有限生成群。

所有有限群都是诺特群。所有有限生成幂零群是多循环群从而是诺特群。^[1]:145

多循环群被有限群的扩张是诺特群。其逆不成立，也就是说一个诺特群可能不具有指数有限的多循环正规子群。但这样的反例的构造是相当复杂的。

诺特群的名称取自埃米·诺特。不是多循环群被有限群的扩张的诺特群由亚历山大·奥利尚斯基在一篇1979年论文中首次构造。^[2][3]

• Hazewinkel, Michiel (编), Noetherian group, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Hazewinkel, Michiel (编), Polycyclic group, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Noetherian group. Groupprops （英语）. 
• Polycyclic group. Groupprops （英语）.