连通和

两个m维流形的连通和为一流形，其将两个流形各挖去一个球，再将球面边界黏在一起。

若两个流形是可定向的，由逆转定向黏合映射定义的连通和是惟一的。即使这建构使用到的球的选择，但最后结果都会于同胚下统一。亦可以将此运算作用于光滑范畴上，而其结果也会于微分同胚下统一。

连通和的运算标记为${\displaystyle \#}$ ；例如，${\displaystyle A\#B}$ 即表示为A和B的连通和。

连通和的运算中有一球面${\displaystyle S^{m}}$ 为单位元；亦即，${\displaystyle M\#S^{m}}$ 会同胚(或微分同构)于M。

闭球面的分类，在拓扑学上的一基本及重大结果，其描述为：任一闭曲面均可表示成g个环面和k个实射影平面的连通和。

设${\displaystyle M_{1}}$ 和${\displaystyle M_{2}}$ 为两个光滑、可定向且相同维度的流形，及V为一光滑、封闭且可定向的流形，可内嵌成${\displaystyle M_{1}}$ 和${\displaystyle M_{2}}$ 的子流形。此外，再假设其存在一法丛的同构

${\displaystyle \psi :N_{M_{1}}V\to N_{M_{2}}V}$ 

其将每一纤维的定向颠倒。然后，${\displaystyle \psi }$ 便可导出一定向保留的微分同构

${\displaystyle N_{1}\setminus V\cong N_{M_{1}}V\setminus V\to N_{M_{2}}V\setminus V\to N_{M_{2}}V\setminus V\cong N_{2}\setminus V,}$ 

其中，每一法丛${\displaystyle N_{M_{i}}V}$ 都会微分同构地和于${\displaystyle M_{i}}$ 内V的邻域${\displaystyle N_{i}}$ 一致，且映射

${\displaystyle N_{M_{2}}V\setminus V\to N_{M_{2}}V\setminus V}$ 

• Band sum（英语：Band sum）
• Prime decomposition of 3-manifolds（英语：Prime decomposition of 3-manifolds）
• Manifold decomposition（英语：Manifold decomposition）

• Robert Gompf: A new construction of symplectic manifolds, Annals of Mathematics 142 (1995), 527-595
• William S. Massey, A Basic Course in Algebraic Topology, Springer-Verlag, 1991. ISBN 0-387-97430-X.