解析空间

固定一个完备域 ${\displaystyle (F,|\cdot |)}$ （通常取 ${\displaystyle \mathbb {R} }$  或 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ）。

令 ${\displaystyle U=\{(x_{1},\cdots ,x_{n}):\forall i\;|x_{i}|<1\}\subset F^{n}}$ ，其中 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ，令 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{U}}$  为 ${\displaystyle U}$  上的解析函数层。设 ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{m}}$  为解析函数，我们考虑它们的共同零点形成之空间 ${\displaystyle Z(f_{1},\ldots ,f_{n})}$  （带来自 ${\displaystyle F^{n}}$  的拓扑结构），并赋予结构层 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{U}/(f_{1},\ldots ,f_{m})}$ 。如此遂得到一个局部赋环空间，这类空间称作局部模型。

注意到我们容许结构层中有幂零元，一如概形的情形，若一个解析空间的结构层之幂零根为零，则称之为既约的。

所谓解析空间是一个局部同构于上述空间的局部赋环空间 ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {O}})}$ ；或者说是局部模型沿着开集的黏合。在 ${\displaystyle F=\mathbb {C} }$  时，数学家们已有特别深入的研究，这类解析空间称为复解析空间，可以视为复流形的推广。

冈洁引理（Oka's lemma）是这方面的最初成果之一，其推论之一是：复解析空间的结构层是凝聚层，其中的任何理想层也都是凝聚层。

对复解析凝聚层已有一套细致的理论，包括一些重要的有限性定理；详阅 Grauert 与 Remmert 的著作（见参考文献）。

具良好性质（局部诺特、分离……）的复概形 ${\displaystyle X}$  可视作解析空间；形式地说，有解析化函子

${\displaystyle X\mapsto X^{\mathrm {an} }}$ ，映至相应的复解析空间。

${\displaystyle {\mathcal {F}}\mapsto {\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }}$ ，将 ${\displaystyle X}$  上的代数凝聚层映至 ${\displaystyle X^{\mathrm {an} }}$  上的解析凝聚层。

于是引生两大问题：

1. 比较复概形及其解析化的诸般性质：包括拓扑性质（连通性、紧性、分支、真态射）及上同调（或者更一般的高阶正像导函子${\displaystyle R^{i}f_{*}(-)}$  ）等等……。
2. 复解析空间的代数性问题：一个复解析空间称作是代数的，当且仅当它同构于某个 ${\displaystyle X^{\mathrm {an} }}$ ，其中 ${\displaystyle X}$  是个复概形；显然存在非代数的复解析空间（例如 ${\displaystyle \mathbb {C} }$  的单位圆盘）。能否给出代数性的一般判准？

关于第一个问题，可参阅塞尔的著名论文 Géométrie algébrique et géométrie analytique（代数几何与解析几何），或 SGA 卷一附录。第二个问题则牵涉甚广。已知一维紧复流形皆是射影代数簇，这是黎曼的经典结果；至于一般的整、紧复解析空间，代数化的必要条件之一是存在“够多”亚纯函数，明确地说，即亚纯函数域的超越次数须等于空间的维度；这类空间称作 Moishezon 空间。对于紧复流形，另一个必要条件是须有 Kähler度量。

• H. Grauert, R. Remmert, Analytische Stellenalgebren (1971) , Springer-Verlag （也有英译本：Coherent Analytic Sheaves）
• Grothendieck, Alexandre; Michèle Raynaud. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1960-61 - Revêtements étales et groupe fondamental - (SGA 1) (Documents Mathématiques 3). Société Mathématique de France. 2003: xviii+327 [1971]. （法语）.  引文使用过时参数coauthors (帮助)
• J. P. Serre (1956), "Géométrie algébrique et géométrie analytique." （页面存档备份，存于互联网档案馆） Annales de l'Institut Fourier 6, 1-42.