代数几何与解析几何

给定一个 ${\displaystyle \mathbb {C} }$  上的局部有限型概形 ${\displaystyle X}$ ，可以考虑相应的复解析空间 ${\displaystyle X^{\mathrm {an} }}$ 。此对应 ${\displaystyle X\mapsto X^{\mathrm {an} }}$  定义一个从局部有限型概形范畴到复解析空间范畴的函子。对任一 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ -模 ${\displaystyle F}$ ，同样可考虑相应的 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X^{\mathrm {an} }}}$ -模 ${\displaystyle F^{\mathrm {an} }}$ ，这也给出相应的函子。可以证明 ${\displaystyle F\mapsto F^{\mathrm {an} }}$  是一个正合、忠实且保守的函子。

论证中用到的关键性质是：${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$  是平坦的 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X^{\mathrm {an} }}}$ -模。

拓扑性质比较

设 ${\displaystyle T\subset X}$  为一局部可构子集（即：局部闭集的有限并集），以下 ${\displaystyle T}$  的性质在 ${\displaystyle X}$  中成立，当且仅当在 ${\displaystyle X^{\mathrm {an} }}$  中成立：

• 开子集
• 闭子集
• 稠密子集

当 ${\displaystyle X}$  为有限型态射时，对于 ${\displaystyle X}$  及 ${\displaystyle X^{\mathrm {an} }}$  本身，下述性质也是相通的：

• 连通
• 不可约

概形性质比较

以下性质对 ${\displaystyle X}$  成立，当且仅当对 ${\displaystyle X^{\mathrm {an} }}$  成立：

• 非空
• 离散
• 科恩-麦考利概形
• ${\displaystyle S_{n}}$ 
• ${\displaystyle R_{n}}$ 
• 正规
• 既约
• 维度等于 ${\displaystyle n}$ 

态射性质比较

设 ${\displaystyle f:X\to Y}$  为概形的态射， ${\displaystyle f^{\mathrm {an} }:X^{\mathrm {an} }\to Y^{\mathrm {an} }}$  为复解析空间的相应态射，则下述性质对 ${\displaystyle f}$  成立当且仅当对 ${\displaystyle f^{\mathrm {an} }}$  成立：

• 平坦
• 非分歧
• 平展
• 平滑
• 正规
• 既约
• 分离
• 单射（拓扑意义）
• 同构
• 单射（范畴论意义）
• 开浸入

若再要求 ${\displaystyle f}$  是有限型态射，则可再加入下述性质：

• 满射（拓扑意义）
• 优势态射
• 闭浸入
• 浸入
• 真态射
• 有限态射

上同调比较

以下假设 ${\displaystyle f:X\to Y}$  是真态射，对任一个凝聚 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ -模 ${\displaystyle F}$ ，有自然同构：

${\displaystyle (R^{\bullet }f_{*}F)^{\mathrm {an} }{\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}R^{\bullet }f_{*}^{\mathrm {an} }(F^{\mathrm {an} })}$ 

当 ${\displaystyle Y=\mathrm {Spec} \,\mathbb {C} }$  时，遂有层上同调的比较定理：

${\displaystyle H^{\bullet }(X,F){\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}H^{\bullet }(X^{\mathrm {an} },F^{\mathrm {an} })}$ 

此时 ${\displaystyle F\mapsto F^{\mathrm {an} }}$  给出范畴的等价。

黎曼存在性定理则断言：若 ${\displaystyle X}$  是 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ -上的局部有限型概形，且 ${\displaystyle {\mathcal {X}}'\to X^{\mathrm {an} }}$  是复解析空间的有限平展覆盖，则存在 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ -概形 ${\displaystyle X'}$  及平展态射 ${\displaystyle X'\to X}$ ，使得 ${\displaystyle X'^{\mathrm {an} }\sim {\mathcal {X}}'}$ 。此外，函子 ${\displaystyle X'\mapsto X'^{\mathrm {an} }}$  给出从【${\displaystyle X}$  的有限平展覆盖】到【${\displaystyle X^{\mathrm {an} }}$  的有限平展覆盖】的范畴等价。

当 ${\displaystyle X}$  为连通时，此定理的一个直接推论是代数基本群与拓扑基本群的比较定理：

${\displaystyle {\widehat {\pi _{1}(X^{\mathrm {an} },x_{0})}}\sim \pi _{1}^{\mathrm {alg} }(X,x_{0})}$ 

其中 ${\displaystyle x_{0}\in X(\mathbb {C} )}$ ，而 ${\displaystyle {\widehat {\pi _{1}(X^{\mathrm {an} },x_{0})}}}$  表示代数基本群 ${\displaystyle \pi _{1}(X^{\mathrm {an} },x_{0})}$  对有限指数子群的完备化。

• J. P. Serre (1956), "Géométrie algébrique et géométrie analytique."（页面存档备份，存于互联网档案馆） Annales de l'Institut Fourier 6, 1-42.
• Grothendieck, Alexandre; Michèle Raynaud [1971] (2003). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1960-61 - Revêtements étales et groupe fondamental - (SGA 1) (Documents Mathématiques 3), Société Mathématique de France, xviii+327. ISBN 2-85629-141-4.