可表函子

设 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$  为局部小范畴，并记集合范畴为 ${\displaystyle \mathbf {Set} }$  。对 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$  中的每个对象 ${\displaystyle A}$  以 ${\displaystyle \operatorname {Hom} (A,-)}$  指代将对象 ${\displaystyle X}$  映到集合 ${\displaystyle \operatorname {Hom} (A,X)}$  的Hom函子。

函子 ${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\to \mathbf {Set} }$  是可表的当存在某个 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$  中的对象 ${\displaystyle A}$  使得 ${\displaystyle F}$  自然同构于 ${\displaystyle \operatorname {Hom} (A,-)}$ 。而满足

${\displaystyle \Phi :\operatorname {Hom} (A,-)\to F}$ 

为自然同构的对 ${\displaystyle (A,\Phi )}$  则称为 ${\displaystyle F}$  的一个表示。

从 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$  到 ${\displaystyle \mathbf {Set} }$  的反变函子 ${\displaystyle G}$  不过是（协变）函子 ${\displaystyle G:{\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }\to \mathbf {Set} }$ ，常被称作预层。与协变的情况相似，预层是可表的当它自然同构与某个反变的Hom函子 ${\displaystyle \operatorname {Hom} (-,A)}$ ，其中 ${\displaystyle A}$  是 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$  中的某个对象。

根据米田引理，从 ${\displaystyle \operatorname {Hom} (A,-)}$  到 ${\displaystyle F}$  的自然变换与集合 ${\displaystyle F(A)}$  一一对应。给定自然变换 ${\displaystyle \Phi :\operatorname {Hom} (A,-)\to F}$ ，与之对应的元素 ${\displaystyle u\in F(A)}$  由

${\displaystyle u=\Phi _{A}(\mathrm {id} _{A}).\,}$ 

给出。反之，给定元素 ${\displaystyle u\in F(A)}$ ，可以如下定义自然变换 ${\displaystyle \Phi :\operatorname {Hom} (A,-)\to F}$ 

${\displaystyle \Phi _{X}(f)=(Ff)(u),\,}$ 

其中 ${\displaystyle f}$  是 ${\displaystyle \operatorname {Hom} (A,X)}$  中的任意元素。为了得到 ${\displaystyle F}$  的表示，我们需要确定 ${\displaystyle u}$  诱导的自然变换何时会是同构。这引导出如下定义：

函子 ${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\to \mathbf {Set} }$  的泛元素是由 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$  中的对象 ${\displaystyle A}$  与 ${\displaystyle F(A)}$  中的元素 ${\displaystyle u}$  组成的一对 ${\displaystyle (A,u)}$ ，使得对于任意满足' ${\displaystyle v\in F(X)}$  的对 ${\displaystyle (X,v)}$ ，都存在唯一映射 ${\displaystyle f:A\to X}$  使得 ${\displaystyle (Ff)(u)=v}$  。

泛元素还可看作从单点集合 ${\displaystyle \{\cdot \}}$  到函子 ${\displaystyle F}$  的泛态射，又或者看作 ${\displaystyle F}$  的元素范畴中的始对象。

这样，由元素 ${\displaystyle u\in F(A)}$  诱导的自然变换是自然同构当且仅当 ${\displaystyle (A,u)}$  是 ${\displaystyle F}$  的泛元素。由此可以得出 ${\displaystyle F}$  的表示与 ${\displaystyle F}$  的泛元素之间的一一对应。为此，泛元素 ${\displaystyle (A,u)}$  常常也被称为表示。

• 考虑反变函子 ${\displaystyle P:\mathbf {Set} \to \mathbf {Set} }$ ，将集合映到其幂集、将函数映到其原像映射。要表示这个函子，我们需要一对 ${\displaystyle (A,u)}$ ，其中 ${\displaystyle A}$  是集合而 ${\displaystyle u}$  是 ${\displaystyle A}$  的子集（即 ${\displaystyle P(A)}$  中的元素），使得对于任意集合 ${\displaystyle X}$ ，态射集合 ${\displaystyle \operatorname {Hom} (X,A)}$  通过函数 ${\displaystyle \Phi _{X}(f)=(Pf)u=f^{-1}(u)}$  与 ${\displaystyle P(X)}$  双射。取 ${\displaystyle A=\{0,1\}}$  及 ${\displaystyle u=\{1\}}$ ，那么给定任意子集 ${\displaystyle S\subseteq X}$ ，对应的函数 ${\displaystyle X\to A}$  正是 ${\displaystyle S}$  的示性函数。
• 映到 ${\displaystyle \mathbf {Set} }$  的遗忘函子常常是可表的。特别地，每当 ${\displaystyle A}$  是由单个生成元 ${\displaystyle u}$  组成的单元素集合上的自由对象，遗忘函子都由 ${\displaystyle (A,u)}$  所表示，如：
  • 群范畴上的遗忘函子 ${\displaystyle \mathbf {Grp} \to \mathbf {Set} }$  由 ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,1)}$  所表示。
  • 环范畴上的遗忘函子 ${\displaystyle \mathbf {Ring} \to \mathbf {Set} }$  由整系数单变元多项式环 ${\displaystyle (\mathbb {Z} [x],x)}$  所表示。
  • ${\displaystyle k}$ -向量空间范畴上的遗忘函子 ${\displaystyle k{\textrm {-}}\mathbf {Vect} \to \mathbf {Set} }$  由 ${\displaystyle (k,1)}$  所表示。
  • 拓扑空间范畴上的遗忘函子 ${\displaystyle \mathbf {Top} \to \mathbf {Set} }$  由单元素拓扑空间和其唯一元素所表示。
• 群 ${\displaystyle G}$  （甚至广群）可以视作只有单个对象（记作 ${\displaystyle \cdot }${\displaystyle \cdot }  ）的范畴。从这个范畴 ${\displaystyle G}$  到 ${\displaystyle \mathbf {Set} }$  的每个函子都对应于一个 ${\displaystyle G}$ -集合；其中从 ${\displaystyle G}${\displaystyle G}   到 ${\displaystyle \mathbf {Set} }$  唯一的Hom函子 ${\displaystyle \operatorname {Hom} (\,\cdot \,,-)}$  对应于底集合为 ${\displaystyle G}$ 、作用为 ${\displaystyle G}$  中左乘法的典范 ${\displaystyle G}$ -集合。借助群论中的标准论证可知从 ${\displaystyle G}$  到 ${\displaystyle \mathbf {Set} }$  函子可表当且仅当其对应的 ${\displaystyle G}$ -集合为正则的（即自由且可递；这类 ${\displaystyle G}$ -集合也称为 ${\displaystyle G}$ -旋子或堆），而为这个函子选择一个表示即相当于为这个堆选择一个恒等元。
• 设 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$  为对象是CW复形、态射为连续映射的同伦类的范畴。对于每个自然数 ${\displaystyle n}$  存在一个反变函子 ${\displaystyle H^{n}:{\mathcal {C}}\to \mathbf {Ab} }$ ，将每个CW复形映到其 ${\displaystyle n}$  阶（整系数）上同调群。与阿贝尔群范畴上的遗忘函子复合后即得到一个从 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$  到 ${\displaystyle \mathbf {Set} }$  的反变函子。代数拓扑中的布朗可表性定理声明这个函子可由一个CW复形 ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,n)}$  所表示；这个CW复形被称为艾伦伯格-麦克兰恩空间。

唯一性

函子的表示在同构的意义下唯一。换言之，如果 ${\displaystyle (A_{1},\Phi _{1})}$  与 ${\displaystyle (A_{2},\Phi _{2})}$  表示同一个函子，那么存在唯一的同构 ${\displaystyle \varphi :A_{1}\to A_{2}}$  使得

${\displaystyle \Phi _{1}^{-1}\circ \Phi _{2}=\mathrm {Hom} (\varphi ,-)}$ 

作为从 ${\displaystyle \operatorname {Hom} (A_{2},-)}$  到 ${\displaystyle \operatorname {Hom} (A_{1},-)}$  自然同构相等。这一事实可由米田引理简单得出。

用泛元素的语言表述如下：如果 ${\displaystyle (A_{1},u_{1})}$  与 ${\displaystyle (A_{2},u_{2})}$  表示同一个函子，那么存在唯一的同构 ${\displaystyle \varphi :A_{1}\to A_{2}}$  使得

${\displaystyle (F\varphi )u_{1}=u_{2}.}$ 

保极限性

可表函子自然同构于Hom函子，因而享有许多后者的性质。尤其值得注意的是，（协变）可表函子保持所有极限。由此可得，未能保持某些极限的函子都不是可表的。

相似地，反变可表函子把余极限映到极限。

左伴随

如果函子 ${\displaystyle K:{\mathcal {C}}\to \mathbf {Set} }$  带有左伴随 ${\displaystyle F:\mathbf {Set} \to {\mathcal {C}}}$ ，那么它就可由 ${\displaystyle (FX,\eta _{X}(\cdot ))}$  表示；这里 ${\displaystyle X=\{\cdot \}}$  是某个单元素集合，而 ${\displaystyle \eta }$  是伴随的单位。

反之，如果 ${\displaystyle K}$  由对 ${\displaystyle (A,u)}$  表示，且 ${\displaystyle A}$  的任意上幂^[1]在 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$  中都存在，那么 ${\displaystyle K}$  拥有左伴随 ${\displaystyle F}$ ，后者将任意集合 ${\displaystyle I}$  映到 ${\displaystyle A}$  的 ${\displaystyle I}$  次上幂。

所以，如果 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$  是带所有上幂的范畴，则函子 ${\displaystyle K:{\mathcal {C}}\to \mathbf {Set} }$  是可表的当且仅当它拥有左伴随。

泛态射和伴随函子这两个范畴论概念都可以用可表函子表达。

设 ${\displaystyle G:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}}$  为函子，${\displaystyle X}$  为 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$  中的对象。那么 ${\displaystyle (A,\varphi )}$  是从${\displaystyle X}$  到 ${\displaystyle G}$  的泛态射当且仅当 ${\displaystyle (A,\varphi )}$  是函子 ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathcal {C}}(X,G-):{\mathcal {D}}\to \mathbf {Set} }$  的表示。由此可知 ${\displaystyle G}$  带有左伴随（记为 ${\displaystyle F}$ ）当且仅当函子 ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathcal {C}}(X,G-)}$  对于任意 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$  中的对象 ${\displaystyle X}$  都可表。此外，伴随正由自然同构 ${\displaystyle \Phi _{X}:\operatorname {Hom} _{\mathcal {D}}(FX,-)\to \operatorname {Hom} _{\mathcal {C}}(X,G-)}$  给出，即：

${\displaystyle \Phi _{X,Y}\colon \mathrm {Hom} _{\mathcal {D}}(FX,Y)\to \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(X,GY)}$ 

对于所有${\displaystyle X}$  和 ${\displaystyle Y}$  都是（自然的）双射。

与之对偶的陈述也成立：设 ${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$  为函子，${\displaystyle Y}$  为 ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$  中的对象。那么那么 ${\displaystyle (A,\varphi )}$  是从${\displaystyle F}$  到 ${\displaystyle Y}$  的泛态射当且仅当 ${\displaystyle (A,\varphi )}$  是函子 ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathcal {D}}(F-,Y):{\mathcal {C}}\to \mathbf {Set} }$  的表示。由此可知 ${\displaystyle F}$  带有右（记为 ${\displaystyle G}$ ）伴随当且仅当函子 ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathcal {D}}(F-,Y)}$  对于任意 ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$  中的对象 ${\displaystyle Y}$  都可表。

• Mac Lane, Saunders. Categories for the Working Mathematician. Graduate Texts in Mathematics 5 2nd. Springer. 1998. ISBN 0-387-98403-8.