极限 (范畴论)

一范畴 C 中的极限及上极限可用 C 中的图示来定义。形式上，C 中类型 J 的图示是指一个由 J 映射至 C 的函子：

F : J → C.

范畴 J 称之为“索引范畴”，图示 F 可想做是以 J 索引 C 内的物件及态射。J 实际的物件及态射为何并不重要，关键在于之间的互动。

通常，最感兴趣的情况是当类型J为小范畴或有限范畴之时，此类图示分别被称为“小图示”及“有限图示”。

极限

设 F : J → C 为一个在范畴 C 中类型 J 的图示。一个对应于 F 的“锥体”是指 C 中的一物件 N ，具有可以 J 内之物件 X 索引的态射族 ψ_X : N → F(X)，使得对每个 J 内的态射 f : X → Y，均有 F(f) o ψ_X = ψ_Y。

图示 F : J → C 的极限是一个对应于 F 的锥体 (L, φ)，使得对所有其他对应于 F 之锥体 (N, ψ)，总存在一个“唯一的”态射 u : N → L，使得对所有 J 中的 X，φ_X o u = ψ_X。

可以说，锥体 (N, ψ) 能被唯一的因子 u 分解成锥体 (L, φ)。此一态射 u 有时称为“中介态射”。

极限亦称之为“泛锥体”，因为其所具有之泛性质（详见下文）。如同每个泛性质一般，上述定义叙述了一个有关一般性的对称状态：极限物件 L 够一般，能让所有其他锥体分解；另一方面，L 也必须够特殊，每个锥体都只可能有“一个”因子。

极限也可视为是在对应于 F 的锥体范畴内的终对象。

图示可能不存在极限；但若一个图示存在极限，则此一极限一定是唯一的：在同构下是唯一的。

上极限

极限及锥体的对偶概念是上极限及上锥体。虽然可直接将上述定义的所有态射反转，以得到上极限及上锥体之定义，但下文仍将明确叙明之：

图示 F : J → C 的“上锥体是指 C 中的一物件 N，具有可以每个 J 中的物件 X 索引的态射族

ψ_X : F(X) → N

使得对每个 J 内的态射 f : X → Y，均有 ψ_Y o F(f)= ψ_X。

图示 F : J → C 的上极限是 F 的上锥体 (L, ${\displaystyle \varphi }${\displaystyle \phi }  )，使得对所有其他对应于 F 的上锥体 (N, ψ)，总存在一个“唯一的”态射 u : L → N，使得对所有 J 中的 X，u o ${\displaystyle \phi }$ _X = ψ_X。

上极限也称为“泛上锥体”，也可视为是在对应于 F 的上锥体范畴内的始对象。

如同极限一般，若图示 F 存在上极限，则此上极限在同构下是唯一的。

归纳系统与射影系统

以下固定一个范畴${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ，并探讨其中的极限。为避免集合的悖论，我们将固定一个宇宙${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ，并假定${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 是${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ -范畴，即：对任意两个对象${\displaystyle X,Y}$ ，态射集${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(X,Y)}$ 同构于${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ 里的某个集合。${\displaystyle \mathbf {Set} }$ 表所有${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ 里的集合构成的范畴。

设${\displaystyle I}$ 为对${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ 的一个小范畴，所谓归纳系统（或称I-图）系指一个函子${\displaystyle \alpha :I\rightarrow {\mathcal {C}}}$ ，射影系统则指一函子${\displaystyle \beta :I^{\mathrm {op} }\rightarrow {\mathcal {C}}}$ 。

形象地说，归纳系统不外是给定${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 中一族对象${\displaystyle \{X_{i}:i\in I\}}$ ，对每个态射${\displaystyle i\rightarrow j}$ 都有${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 中对应的态射${\displaystyle X_{i}\rightarrow X_{j}}$ ，且此对应在态射的合成下不变。射影系统对应的态射则反向：${\displaystyle X_{i}\leftarrow X_{j}}$ 。

固定一对象${\displaystyle X\in {\mathcal {C}}}$ ，对任意归纳系统α或射影系统β，可定义从${\displaystyle I^{\mathrm {op} }}$ 到${\displaystyle \mathbf {Set} }$ 的函子

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(\alpha ,X):i\mapsto \mathrm {Hom} (\alpha (i),X)}$ 

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(X,\beta ):i\mapsto \mathrm {Hom} (X,\beta (i))}$ 

我们将遵循可表函子的哲学，从集合的射影极限出发。暂设${\displaystyle {\mathcal {C}}=\mathbf {Set} }$ ，${\displaystyle \mathbf {Set} }$ 上的归纳系统不外是${\displaystyle I}$ 上的预层。给定一个归纳系统β，定义：

${\displaystyle \varprojlim \beta :=\{(x_{i})\in \prod _{i\in I}\beta (i):\forall i,j\in I,s\in \mathrm {Hom} (i,j)\;\beta (s)(x_{j})=x_{i}\}}$ 

（注意：若${\displaystyle I}$ 是空范畴，对应的射影极限是单元素集合。）

可手工验证下述自然同构：

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathbf {Set} }(X,\varprojlim \beta ){\stackrel {\sim }{\rightarrow }}\varprojlim \mathrm {Hom} _{\mathbf {Set} }(X,\beta )}$ 

始对象与终对象

令${\displaystyle I}$ 为空范畴，此时的归纳极限与射影极限（若存在）便分别满足泛性质

${\displaystyle \forall X\in {\mathcal {C}},|\mathrm {Hom} (X,\varprojlim \emptyset )|=|\mathrm {Hom} (\varinjlim \emptyset ,X)|=1}$ 

这不外就是${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 里的始对象与终对象。

纤维积与纤维余积

令${\displaystyle I}$ 为离散范畴（即：其间只有恒等态射），此时归纳及射影系统不外只是一族${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 的对象${\displaystyle \{X_{i}:i\in I\}}$ ，对应的归纳极限及射影极限称作余积（又称上积）与积。

令${\displaystyle I}$ 为范畴${\displaystyle \bullet \longleftarrow \bullet \longrightarrow \bullet }$ ；设${\displaystyle \alpha :I\rightarrow {\mathcal {C}}}$ 对应于${\displaystyle Y_{1}{\stackrel {f_{1}}{\longleftarrow }}X{\stackrel {f_{2}}{\longrightarrow }}Y_{2}}$ 。若其归纳极限存在，称之${\displaystyle Y_{1},Y_{2}}$ 对${\displaystyle X}$ 的纤维余积，写作${\displaystyle Y_{1}\sqcup _{X}Y_{2}}$ 。

对偶地看，对于${\displaystyle \beta :I^{\mathrm {op} }\rightarrow {\mathcal {C}}}$ ，对应于${\displaystyle X_{1}{\stackrel {f_{1}}{\longrightarrow }}Y{\stackrel {f_{2}}{\longleftarrow }}X_{2}}$ ，若其射影极限存在，称之${\displaystyle X_{1},X_{2}}$ 对${\displaystyle Y}$ 的纤维积，写作${\displaystyle X_{1}\times _{Y}X_{2}}$ 。

纤维积与纤维余积可视为“相对”版本的积与余积。若存在终对象（或始对象），则积（或余积）可视为对该对象的纤维积（或纤维余积）。

核与上核

核（kernel）与余核（cokernel，又译上核），有时也称等化子（equalizer）与余等化子（coequalizer）。考虑对应到 ${\displaystyle X_{0}{\overset {f}{\underset {g}{\rightrightarrows }}}X_{1}}$  的归纳或射影系统，此时的归纳极限${\displaystyle \mathrm {Coker} (f,g)}$ 称作上核，射影极限${\displaystyle \mathrm {Ker} (f,g)}$ 称作核。它们的泛性质图解如下：

在加法范畴中仅须考虑${\displaystyle g=0}$ 的状况，上述概念遂归结为同调代数所探讨的的核与余核。

极限之交换

设${\displaystyle I,J}$ 为小范畴，${\displaystyle \alpha :I\times J\rightarrow {\mathcal {C}}}$ 为归纳系统，则有自然同构

${\displaystyle \varinjlim _{i,j}\alpha (i,j)=\varinjlim _{i}\varinjlim _{j}\alpha (i,j)=\varinjlim _{j}\varinjlim _{i}\alpha (i,j)}$ 

将箭头反向，对射影系统${\displaystyle \beta :(I\times J)^{\mathrm {op} }=I^{\mathrm {op} }\times J^{\mathrm {op} }\rightarrow {\mathcal {C}}}$ 亦有自然同构

${\displaystyle \varprojlim _{i,j}\beta (i,j)=\varprojlim _{i}\varprojlim _{j}\beta (i,j)=\varprojlim _{j}\varprojlim _{i}\beta (i,j)}$ 

归纳极限与射影极限通常不交换，一个格外有用的结果是：若${\displaystyle I}$ 是滤通范畴，则${\displaystyle \varinjlim _{I}}$ 与任意${\displaystyle \varprojlim _{J}}$ 交换。

完备性

若一个范畴内存在任意的（小）射影极限，则称之完备范畴；完备的充要条件是存在任意的积与核。

将箭头反向，遂得到上完备范畴的定义及其充要条件。

正合函子

考虑一个函子${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {C'}}}$ 。

• 若${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 里存在任意的有限射影极限，且${\displaystyle F}$ 与有限射影极限交换，则称${\displaystyle F}$ 为左正合。
• 若${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 里存在任意的有限归纳极限，且${\displaystyle F}$ 与有限归纳极限交换，则称${\displaystyle F}$ 为右正合。
• 若上述条件同时被满足，则称${\displaystyle F}$ 为正合。

在阿贝尔范畴中，上述定义回归到同调代数中的定义。

根据极限的泛性质，${\displaystyle \mathrm {Hom} (-,-)}$ 函子无论对哪个变数都是左正合的。

设${\displaystyle (F,G)}$ 是一对伴随函子。若${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 存在任意有限归纳极限，则${\displaystyle F}$ 右正合；若存在任意有限射影极限，${\displaystyle G}$ 左正合。此法可建立许多函子的正合性。

集合论

• 定义中已构造集合的（小）射影极限。对于任意一个小范畴${\displaystyle I}$ 及归纳系统${\displaystyle \alpha :I\rightarrow \mathbf {Set} }$ ，其归纳极限亦存在，定义为下述商集：

${\displaystyle \varinjlim \alpha :={\dfrac {\coprod _{i\in I}\alpha (i)}{(\exists i_{1}\rightarrow \cdots \rightarrow i_{n},x\in \alpha (i_{1})\mapsto \cdots \mapsto y\in \alpha (i_{n}))\Rightarrow (x\sim y)}}}$ 

• 两个集合的纤维积与上积为

${\displaystyle Y_{1}\sqcup _{X}Y_{2}=Y_{1}\sqcup Y_{2}/\{f_{1}(y_{1})=f_{2}(y_{2})\Rightarrow x_{1}\sim x_{2}~\}}$ 

${\displaystyle X_{1}\times _{Y}X_{2}=\{(x_{1},x_{2})\in X_{1}\times X_{2}:f(x_{1})=f(x_{2})\}}$ 

• 设${\displaystyle f,g:X_{0}\rightarrow X_{1}}$ ，则

${\displaystyle \mathrm {Ker} (f,g)=\{x_{0}\in X_{0}:f(x_{0})=g(x_{0})\}}$ ，这是“等化”一词的来由。

${\displaystyle \mathrm {Coker} (f,g)=X_{1}/\{\forall x_{0}\in X_{0},f(x_{0})\sim g(x_{0})\}}$ 

• ${\displaystyle \mathbf {Set} }$ 是完备且上完备的。

拓扑空间

拓扑空间范畴${\displaystyle \mathbf {Top} }$ 也是完备且上完备的。各种极限构造与集合相同，惟须安上适合的商拓扑或子空间的诱导拓扑。

特别是可以构造一族无穷多个拓扑空间的极限及逆极限，此时相应的拓扑称作始拓扑或终拓扑。此类构造在泛函分析及同伦理论中特别有用。

一个拓扑空间${\displaystyle X}$ 满足豪斯多夫性质的充要条件是${\displaystyle p_{1},p_{2}:X\times X\rightarrow X}$ 的核${\displaystyle \Delta :X\rightarrow X\times X}$ 是闭浸入，将此性质推广到概形上，则得到分离概形。

概形

概形范畴${\displaystyle \mathbf {Sch} }$ （或相对版本${\displaystyle \mathbf {Sch} _{/S}}$ ）有终对象${\displaystyle \mathrm {Spec} \mathbb {Z} }$ （或${\displaystyle S}$ ），并存在有限的纤维积。

抽象代数

阿贝尔群范畴${\displaystyle \mathbf {Ab} }$ 或一个环${\displaystyle R}$ 上的模范畴${\displaystyle \mathbf {Mod} _{R}}$ 都是完备且上完备的。函子的正合性对应到交换代数里的正合性概念。

射影极限的一个典型例子是p进整数：${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}:=\varprojlim _{n}\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ 。

• Masaki Kashiwara and Pierre Schapira, Categories and Sheaves, Springer. 编辑
  • Categories, sites, sheaves and stacks /Pierre Schapira