五引理

在任一阿贝尔范畴（例如阿贝尔群或模的范畴）或群范畴中，考虑以下的交换图：

五引理的叙述是：如果横列正合，${\displaystyle m,p}$  是同构，${\displaystyle l}$  是满射而 ${\displaystyle q}$  是单射，则 ${\displaystyle n}$  是同构。

两个四引理的叙述是：

(1) 考虑交换图  

若其横行正合，${\displaystyle m,p}$  是满射而 ${\displaystyle q}$  是单射，则 ${\displaystyle n}$  是满射。

(2) 考虑交换图  

若其横行正合，${\displaystyle m,p}$  是单射而 ${\displaystyle l}$  是满射，则 ${\displaystyle n}$  是单射。

以下采用的证法俗称“图追踪”，它看似繁复，其实习惯后只是例行程序罢了。

为进行图追踪，以下假设所论范畴为某个环上的模范畴，因此可以谈论对象的元素，并将态射视为模的同态。此时单射、满射等等性质相应于集合论意义上的性质。根据Mitchell嵌入定理，可导出一般范畴上的情形。

对于群范畴，仅须注意到证明内容未用到群的交换性。

1. 设 ${\displaystyle c'\in C'}$ 。
2. 由于 ${\displaystyle p}$  是满射，存在 ${\displaystyle d\in D}$  使得 ${\displaystyle p(d)=t(c')}$ 。
3. 根据图的交换性，${\displaystyle u(p(d))=q(j(d))}$ 。
4. 根据正合性， ${\displaystyle \mathrm {Im} (t)=\mathrm {Ker} (u)}$ ，故 ${\displaystyle 0=u(t(c'))=u(p(d))=q(j(d))}$ 。
5. 因为 ${\displaystyle q}$  是单射，${\displaystyle j(d)=0}$ ，故 ${\displaystyle d\in \mathrm {Ker} (j)=\mathrm {Im} (h)}$ 。
6. 于是存在 ${\displaystyle c\in C}$  使得 ${\displaystyle h(c)=d}$ 。
7. 遂有 ${\displaystyle t(n(c))=p(h(c))=t(c')}$ 。因为 ${\displaystyle t}$  是同态，有 ${\displaystyle t(c'-n(c))=0}$ 。
8. 根据正合性，${\displaystyle c'-n(c)\in \mathrm {Im} (s)}$ ，故存在 ${\displaystyle b'\in B'}$  使得 ${\displaystyle s(b')=c'-n(c)}$ 。
9. 因为 ${\displaystyle m}$  是满射，存在 ${\displaystyle b\in B}$  使得 ${\displaystyle b'=m(b)}$ 。
10. 根据图的交换性 ${\displaystyle n(g(b))=s(m(b))=c'-n(c)}$ 。
11. 因为 ${\displaystyle n}$  是同态，${\displaystyle n(g(b)+c)=n(g(b))+n(c)=c'-n(c)+n(c)=c'}$ 。
12. 由此可知 ${\displaystyle n}$  是满射。证毕。

为证明 (2)，在下图中假设 ${\displaystyle m}$  与 ${\displaystyle p}$  是单射，而 ${\displaystyle l}$  是满射。

1. 设 ${\displaystyle c\in C}$  使得 ${\displaystyle n(c)=0}$ 。
2. 于是 ${\displaystyle t(n(c))=0}$ 。
3. 根据图的交换性，${\displaystyle p(h(c))=0}$ 
4. 因为 ${\displaystyle p}$  是单射，${\displaystyle h(c)=0}$ 。
5. 根据正合性，存在 ${\displaystyle b\in B}$  使得 ${\displaystyle g(b)=c}$ 。
6. 根据图的交换性，${\displaystyle s(m(b))=n(g(b))=n(c)=0}$ 。
7. 根据正合性，存在 ${\displaystyle a'\in A'}$  使得 ${\displaystyle r(a')=m(b)}$ 。
8. 因为 ${\displaystyle l}$  是满射，存在 ${\displaystyle a\in A}$  使得 ${\displaystyle l(a)=a'}$ 。
9. 根据图的交换性，${\displaystyle m(f(a))=r(l(a))=m(b)}$ 。
10. 因为 ${\displaystyle m}$  是单射，${\displaystyle f(a)=b}$ 。
11. 故 ${\displaystyle c=g(f(a))=0}$ 。
12. 由此可知 ${\displaystyle n}$  是单射。证毕。

结合两个四引理，便可证得五引理。

五引理通常用于长正合序列：在计算一个对象的同调或上同调群时，我们通常利用一个较简单的子对象，其同调或上同调已知，再配合长正合序列进行计算。长正合序列本身不一定能确定所求的同调或上同调，此时可以试着以态射比较原对象与一个已知的对象，此态射导出长正合序列的链映射，此时五引理有助于决定未知的同调或上同调群。

• 短五引理：五引理对短正合序列的特例。
• 蛇引理
• 九引理