四进制
四进制是以4为底数的进位制,以 0、1、2 和 3 四个数字表示任何实数。
记数系统 | |
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印度-阿拉伯数字系统 | |
西方阿拉伯数字 阿拉伯文数字 高棉数字 孟加拉数字 |
印度数字 波罗米数字 泰语数字 |
汉字文化圈记数系统 | |
中文数字 闽南语数字 越南语数字 算筹 |
日语数字 朝鲜语数字 苏州码子 |
字母记数系统 | |
阿拉伯字参数字 亚美尼亚数字 西里尔数字 吉兹数字 |
希伯来数字 希腊数字 阿利耶波多数字 |
其它记数系统 | |
雅典数字 巴比伦数字 古埃及数字 伊特拉斯坎数字 |
玛雅数字 罗马数字 熙笃会数字 因努伊特数字 |
依底数区分的进位制系统 | |
1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 12 15 16 18 20 24 30 32 36 60 64 | |
四进制与所有固定底数的记数系统有着很多共同的属性,比如以标准的形式表示任何实数的能力(近乎独特),以及表示有理数与无理数的特性。有关属性的讨论可参考十进制和二进制。
与二进制的关系
与八进制和十六进制的记数系统一样,四进制跟二进制有着一种特别的关系:各底数包括 4、8 与 16 均为 2 的幂,故此,四进制、八进制和十六进制,与二进制之间的换算技术,乃是一个数字对两个、三个或四个二进制位或比特来进行换算。例如在四进制:
- 3221(4) = 11101001(2)
在二进制运算和逻辑的讨论和分析中,八进制和十六进制广泛应用于电脑技术和程序设计范畴,而四进制却并不然。
希尔伯特曲线
然而,四进制数字有用于表示二维希尔伯特曲线:把位于 0 和 1 之间的实数变换到四进制系统,指示各自四个子象限的各个个别数字就会给显示出来,并不断循环。
Qua (四进) |
Bin (二进) |
Dec (十进) |
---|---|---|
0 | 0000 | 0 |
1 | 0001 | 1 |
2 | 0010 | 2 |
3 | 0011 | 3 |
10 | 0100 | 4 |
11 | 0101 | 5 |
12 | 0110 | 6 |
13 | 0111 | 7 |
20 | 1000 | 8 |
21 | 1001 | 9 |
22 | 1010 | 10 |
23 | 1011 | 11 |
30 | 1100 | 12 |
31 | 1101 | 13 |
32 | 1110 | 14 |
33 | 1111 | 15 |
人类语言
在众多甚至所有丘马什语系中原来均使用四进制记数,即数字的读法结构均为 4 和 16 的幂(而非 10)。而在约1819年,一位西班牙神父也有记录了大至32的Ventureño语数字的存活纪录。[1]
视觉展示
使用三种有色圆形(1为蓝色,2为绿色,3为白色,0为空)及五档位置即可以可视化形式显示由 0 至 1023 的任何数字。下列图表是对图1的解读。
对应表
十进制 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
二进制 | 0 | 1 | 10 | 11 | 100 | 101 | 110 | 111 | 1000 | 1001 | 1010 | 1011 | 1100 | 1101 | 1110 | 1111 |
四进制 | 0 | 1 | 2 | 3 | 10 | 11 | 12 | 13 | 20 | 21 | 22 | 23 | 30 | 31 | 32 | 33 |
八进制 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 |
十六进制 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F |
十进制 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 |
二进制 | 10000 | 10001 | 10010 | 10011 | 10100 | 10101 | 10110 | 10111 | 11000 | 11001 | 11010 | 11011 | 11100 | 11101 | 11110 | 11111 |
四进制 | 100 | 101 | 102 | 103 | 110 | 111 | 112 | 113 | 120 | 121 | 122 | 123 | 130 | 131 | 132 | 133 |
八进制 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 |
十六进制 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 1A | 1B | 1C | 1D | 1E | 1F |
十进制 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 |
二进制 | 100000 | 100001 | 100010 | 100011 | 100100 | 100101 | 100110 | 100111 | 101000 | 101001 | 101010 | 101011 | 101100 | 101101 | 101110 | 101111 |
四进制 | 200 | 201 | 202 | 203 | 210 | 211 | 212 | 213 | 220 | 221 | 222 | 223 | 230 | 231 | 232 | 233 |
八进制 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 |
十六进制 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 2A | 2B | 2C | 2D | 2E | 2F |
十进制 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 |
二进制 | 110000 | 110001 | 110010 | 110011 | 110100 | 110101 | 110110 | 110111 | 111000 | 111001 | 111010 | 111011 | 111100 | 111101 | 111110 | 111111 |
四进制 | 300 | 301 | 302 | 303 | 310 | 311 | 312 | 313 | 320 | 321 | 322 | 323 | 330 | 331 | 332 | 333 |
八进制 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 |
十六进制 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 3A | 3B | 3C | 3D | 3E | 3F |
例(四进制→十进制):
分数
由于只有2的约数,许多四进制分数具有重复数字,尽管这些分数往往相当“小”:
十进制基数 Prime factors of the base: 2, 5 Prime factors of one below the base: 3 Prime factors of one above the base: 11 Other prime factors: 7 13 17 19 23 29 31 |
四进制基数 Prime factors of the base: 2 Prime factors of one below the base: 3 Prime factors of one above the base: 11 Other prime factors: 13 23 31 101 103 113 131 133 | ||||
分数 | 分母 | 数 | 数 | 分母 | 分数 |
1/2 | 2 | 0.5 | 0.2 | 2 | 1/2 |
1/3 | 3 | 0.3333... = 0.3 | 0.1111... = 0.1 | 3 | 1/3 |
1/4 | 2 | 0.25 | 0.1 | 2 | 1/10 |
1/5 | 5 | 0.2 | 0.03 | 11 | 1/11 |
1/6 | 2, 3 | 0.16 | 0.02 | 2, 3 | 1/12 |
1/7 | 7 | 0.142857 | 0.021 | 13 | 1/13 |
1/8 | 2 | 0.125 | 0.02 | 2 | 1/20 |
1/9 | 3 | 0.1 | 0.013 | 3 | 1/21 |
1/10 | 2, 5 | 0.1 | 0.012 | 2, 11 | 1/22 |
1/11 | 11 | 0.09 | 0.01131 | 23 | 1/23 |
1/12 | 2, 3 | 0.083 | 0.01 | 2, 3 | 1/30 |
1/13 | 13 | 0.076923 | 0.010323 | 31 | 1/31 |
1/14 | 2, 7 | 0.0714285 | 0.0102 | 2, 13 | 1/32 |
1/15 | 3, 5 | 0.06 | 0.01 | 3, 11 | 1/33 |
1/16 | 2 | 0.0625 | 0.01 | 2 | 1/100 |
1/17 | 17 | 0.0588235294117647 | 0.0033 | 101 | 1/101 |
1/18 | 2, 3 | 0.05 | 0.0032 | 2, 3 | 1/102 |
1/19 | 19 | 0.052631578947368421 | 0.003113211 | 103 | 1/103 |
1/20 | 2, 5 | 0.05 | 0.003 | 2, 11 | 1/110 |
1/21 | 3, 7 | 0.047619 | 0.003 | 3, 13 | 1/111 |
1/22 | 2, 11 | 0.045 | 0.002322 | 2, 23 | 1/112 |
1/23 | 23 | 0.0434782608695652173913 | 0.00230201121 | 113 | 1/113 |
1/24 | 2, 3 | 0.0416 | 0.002 | 2, 3 | 1/120 |
1/25 | 5 | 0.04 | 0.0022033113 | 11 | 1/121 |
1/26 | 2, 13 | 0.0384615 | 0.0021312 | 2, 31 | 1/122 |
1/27 | 3 | 0.037 | 0.002113231 | 3 | 1/123 |
1/28 | 2, 7 | 0.03571428 | 0.0021 | 2, 13 | 1/130 |
1/29 | 29 | 0.0344827586206896551724137931 | 0.00203103313023 | 131 | 1/131 |
1/30 | 2, 3, 5 | 0.03 | 0.002 | 2, 3, 11 | 1/132 |
1/31 | 31 | 0.032258064516129 | 0.00201 | 133 | 1/133 |
1/32 | 2 | 0.03125 | 0.002 | 2 | 1/200 |
1/33 | 3, 11 | 0.03 | 0.00133 | 3, 23 | 1/201 |
1/34 | 2, 17 | 0.02941176470588235 | 0.00132 | 2, 101 | 1/202 |
1/35 | 5, 7 | 0.0285714 | 0.001311 | 11, 13 | 1/203 |
1/36 | 2, 3 | 0.027 | 0.0013 | 2, 3 | 1/210 |
遗传学
四进制和以脱氧核糖核酸 (DNA) 表示的遗传密码,两者之间的位值记录方式可以相互呼应。四种脱氧核糖核酸的核苷酸的简称按字母先后次序排列,分别为A(Adenine;腺嘌呤)、C(Cytosine;胞嘧啶)、G(Guanine;鸟嘌呤)及 T(Thymine;胸腺嘧啶),可用作表示四进制数字,按先后次序排列为 0、1、2 和 3。在此编码下,互补数字配对 0↔3 及 1↔2 (二进制为 00↔11 及 01↔10) ,与碱基对的互补配对 A↔T 及 C↔G 吻合。
比方说,核苷酸序列GATTACA可以四进制数字2033010表示(十进制为9156)。
可是亦有争议指,脱氧核糖核酸应以二进制表示,而非四进制,理由是“在核苷酸的配对中,A(Adenine;腺嘌呤)只能与T(Thymine;胸腺嘧啶)配对,而C(Cytosine;胞嘧啶)只能与G(Guanine;鸟嘌呤)配对。C不能与A、T和自己配对,A又不能与C、G和自己配对。简单来说,核苷酸的配对只存在两种状况,如同在电脑使用的二进制。”。[2]可是,另一方面核苷酸的配搭形式可是A↔T也可是其反转T↔A,可是C↔G也可是其反转G↔C,形成两种配搭状况、四种配搭形式,因此也有观点认为脱氧核糖核酸应以四进制表示,后者才是正确的观点。[2]。
数据传输
四进制的线路码也有在数据传输应用到。从电报发明伊始,到当代电话通信的综合业务数字网线路中,一直用上了2B1Q(双二进制对一四进位)编码,在传输信号时以四种电压代表四个不同的一组双比特信号状况(“10”以+450 mV表示;“11”以+150 mV表示;“01”以-150 mV表示;“00”以-450 mV表示)。
参考资料
- ^ "Chumashan Numerals",由Madison S. Beeler著作,刊于Native American Mathematics,由Michael P. Closs (1986)编辑,国际标准书号 0-292-75531-7。
- ^ 2.0 2.1 http://answers.yahoo.com/question/index?qid=20091102135615AA2Cqbv. [2009-11-04]. (原始内容存档于2021-04-21). 外部链接存在于
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(帮助)
延伸阅读
- 各底数的变换
外部链接
- 在线十进制转四进制工具,小数亦同样支持。
- 四四进制,提供独家的四进制及十六进制标符。