单射、满射与双射

一个映射称为单射（一对一）如果每个可能的像最多只有一个变量映射其上。等价的有，一个映射是单射如果它把不同值映射到不同像。一个单射映射简称单射。形式化的定义如下。

映射${\displaystyle f:A\to B}$  是单射 当且仅当对于所有${\displaystyle a,b\in A}$ , 我们有${\displaystyle f(a)=f(b)\Rightarrow a=b.}$ 

• 一个映射${\displaystyle f:A\to B}$ 是单射当且仅当${\displaystyle A}$ 是空的或${\displaystyle f}$ 是左可逆的，也就是说，存在一个映射${\displaystyle g:B\to A}$  使得${\displaystyle g\circ f=A}$ 上的恒等映射.
• 因为每个映射都是满射当它的陪域限制为它的值域时，每个单射导出一个到它的值域的双射。更精确的讲，每个单射${\displaystyle f:A\to B}$ 可以分解为一个双射接着一个如下的包含映射。令${\displaystyle f_{R}:A\to f(A)}$ 为把陪域限制到像的 ${\displaystyle i}$ ，令 ${\displaystyle i:f(A)\to B}$ 为从${\displaystyle f(A)}$ 到${\displaystyle B}$ 中的包含映射.则${\displaystyle f=i\circ f_{R}}$ . 一个对偶的分解会对满射成立。
• 两个单射的复合也是单射，但若${\displaystyle f\circ g}$ 是单射，只能得出${\displaystyle g}$ 是单射的结论。参看右图。

一个映射称为满射（到上）如果每个可能的像至少有一个变量映射其上，或者说陪域任何元素都有至少有一个变量与之对应。形式化的定义如下：

映射${\displaystyle f:A\to B}$ 为满射，当且仅当对任意${\displaystyle b\in B}$ ，存在${\displaystyle a\in A}$ 满足${\displaystyle f(a)=b}$ 。

• 映射${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ 为一个满射，当且仅当存在一个映射${\displaystyle g:Y\rightarrow X}$ 满足${\displaystyle f\circ g}$ 等于${\displaystyle Y}$ 上的单位映射。（这个陈述等同于选择公理。）
• 将一个满射的陪域中每个元素的原像集看作一个等价类，我们可以得到以该等价类组成的集合（原定义域的商集）为定义域的一个双射。
• 如果${\displaystyle f}$ 和${\displaystyle g}$ 皆为满射，则${\displaystyle f\circ g}$ 为满射。如果${\displaystyle f\circ g}$ 是满射，则仅能得出${\displaystyle f}$ 是满射。参见右图。

既是单射又是满射的映射称为双射. 映射为双射当且仅当每个可能的像有且仅有一个变量与之对应。

映射${\displaystyle f:A\to B}$ 为双射当且仅当对任意${\displaystyle b\in B}$ 存在唯一${\displaystyle a\in A}$ 满足${\displaystyle f(a)=b}$ 。

• 映射f : A → B为双射当且仅当其可逆，即，存在映射g: B → A满足g o f = A上的恒等映射，且f o g为B上的恒等映射。
• 两个双射的复合也是双射。如g o f为双射，则仅能得出f为单射且g为满射。见右图。

• 同一集合上的双射构成一个对称群。

• 如果${\displaystyle X,Y}$ 皆为实数${\displaystyle \mathbb {R} }$ ，则双射映射${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ 可以被视觉化为两根任意的水平直线只相交正好一次。（这是水平线测试的一个特例。）

势

双射映射经常被用于表明集合X和Y是等势的，即有一样的基数。如果在两个集合之间可以建立一个一一对应，则说这两个集合等势。

如果${\displaystyle X,Y}$ 皆为有限集合，则这两个集合中${\displaystyle X,Y}$ 之间存在一个双射，当且仅当X和Y的元素数相等。其实，在公理集合论中，元素数相同的定义被认为是个特例，一般化这个定义到无限集合需要导入基数的概念，这是一个区别各类不同大小的无限集合的方法。

对于每个映射给定定义域和陪域很重要，因为改变这些就能改变映射属于什么射。

双射

• 任意集合上的恒等映射id为一双射。
• 考虑映射${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ ，定义为${\displaystyle f(x)=2x+1}$ 。这个映射是双射，因为给定任意一个实数${\displaystyle y}$ ，我们都能解${\displaystyle y=2x+1}$ ，得到唯一的实数解${\displaystyle x=(y-1)/2}$ 。
• 指数映射 ${\displaystyle \exp :\mathbf {R} \to \mathbf {R} ^{+}:x\mapsto \mathrm {e} ^{x}}$ 及其逆映射自然对数 ${\displaystyle \ln :\mathbf {R} ^{+}\to \mathbf {R} :x\mapsto \ln {x}}$ 。

单射、但非满射

• 指数映射${\displaystyle \exp :\mathbf {R} \to \mathbf {R} :x\mapsto \mathrm {e} ^{x}}$ 

满射、但非单射

• ${\displaystyle \mathbf {R} \to \mathbf {R} :x\mapsto (x-1)x(x+1)=x^{3}-x}$ 

既非单射也非满射

• ${\displaystyle \mathbf {R} \to \mathbf {R} :x\mapsto x^{2}}$ 

范畴论的单态射、满态射和同构是单射、满射和双射概念的推广。在集合范畴中的单态射、满态射和同构分别对应单射、满射和双射映射。

• 映射
• 单射
• 满射
• 双射
• 映射
• 内射模
• 置换
• 单态射、满态射与同构