对合矩阵

如果${\displaystyle a^{2}+bc=1}$ ，则2×2实矩阵 ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&-a\end{pmatrix}}}$   是对合矩阵。^[2]

三类基本矩阵中有一种是对合矩阵，即行交换的基本矩阵。 在特殊情况下，另一类的基本矩阵，即表示对行或列乘以 −1 的矩阵也是对合矩阵；实际上这是符号矩阵的一个特例——所有符号矩阵均是对合的。

下面是一些对合矩阵的简单例子。

${\displaystyle {\begin{array}{cc}\mathbf {I} ={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}};&\mathbf {I} ^{-1}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\\\\\mathbf {R} ={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}};&\mathbf {R} ^{-1}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}\\\\\mathbf {S} ={\begin{pmatrix}+1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}};&\mathbf {S} ^{-1}={\begin{pmatrix}+1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}\\\end{array}}}$ 

这里

${\displaystyle \mathbf {I} }$  是单位矩阵 (显然对合);

${\displaystyle \mathbf {R} }$  是交换过一对行的单位矩阵；

${\displaystyle \mathbf {S} }$  是符号矩阵。

显然，任何由对称矩阵构成的块-对角阵 构成的矩阵也是对合矩阵。

一个对称的对合矩阵也是一个正交矩阵，并因此表示一个保距变换 (保持欧几里德距离的线性变换)。反之，每个正交对合矩阵均是对称的。^[3] 一个特别的例子是，每个反射矩阵均是对合的。

任何域上对合矩阵的行列式是±1.^[4]

如果 ${\displaystyle \mathbf {A} }$  是一个 n × n 矩阵，则A是对合的当且仅当½(A + I)是 幂等的。 这一关系给出了对合矩阵和幂等矩阵之间的双射。

如果 ${\displaystyle \mathbf {A} }$  是${\displaystyle M(n,\mathbb {R} )}$ （实数域上的矩阵代数）上的矩阵，则由 ${\displaystyle \mathbf {A} }$  产生的子代数 {x I + y A: x、y ∈ℝ} 与双曲复数同构。

如果 ${\displaystyle \mathbf {A} }$ 和 ${\displaystyle \mathbf {B} }$  两个对合矩阵可交换，则 ${\displaystyle \mathbf {AB} }$  也是对合的。

如果 ${\displaystyle \mathbf {A} }$  是对合矩阵则 A 的任意自然数次幂均是对合的。 事实上， ${\displaystyle \mathbf {A} ^{n}}$  在 ${\displaystyle n}$  是奇数时等于 ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ，在 ${\displaystyle n}$  是偶数时等于 ${\displaystyle \mathbf {I} }$ 。

• 仿射对合