西尔维斯特方程
西尔维斯特方程(Sylvester equation)是控制理论中的矩阵方程,形式如下[1]:
其中A、B及C是已知的矩阵,问题是要找出符合条件的X。其中所有矩阵的系数都是复数。为了要使方程成立,矩阵的行和列需要满足一定条件,A和B都要是方阵,大小分别是n和m,而X和C要是n行m列的矩阵,n和m也可以相等,四个矩阵都是大小相同的方阵。
西尔维斯特方程有唯一解X的充份必要条件是A和-B没有共同的特征值。
AX+XB=C也可以视为是(可能无穷维中)巴拿赫空间中有界算子的方程。此情形下,唯一解X的充份必要条件几乎相同:唯一解X的充份必要条件是A和-B的谱不互交[2]。
解的存在及唯一
利用克罗内克积以及向量化量子 ,可以改写西尔维斯特方程为
其中 为 单位矩阵。在此形式下,可以将问题改为 维的线性系统[3]。
- 命题
假定复数的 矩阵 和 ,西尔维斯特方程针对任意 有唯一解 ,若且唯 若 和 没有共同的特征值。
- 证明
考虑线性转换 , .
(i)假设 和 没有共同的特征值,则其特征方程式 和 的最大公因式为 ,因此存在复数多项式 和 ,使得 。依照Cayley–Hamilton定理, ;因此 。令 为 的解,则 ,重复上述作法,可得 。因此依照秩-零化度定理, 是可逆的,因此针对所有的 都存在唯一的解 。
(ii) 相对的,若假设 是 和 的共同特征值,则 也是 的特征值。存在非零向量 和 使得 以及 。选择 使得 ,向量的元素是 的共轭复数,则 没有解 ,因为复数的双线性pairing ,等号的右边为正值,而左侧为零。
Roth消去法则
假设二个大小分别为n和m的方阵A和B,以及大小为n乘m的矩阵C,则可以确认以下二个大小为n+m的方阵 和 是否彼此相似。这二个矩阵相似的条件是存在一矩阵X使得AX-XB=C,换句话说,X为西尔维斯特方程的解,这称为Roth消去法则(Roth's removal rule)[4]。
可以用以下方式检查,若AX-XB=C,则
Roth消去法则无法延伸到巴拿赫空间中的无穷维有界算子中[5]。
数值解
西尔维斯特方程数值解的经典算法是Bartels–Stewart算法,利用QR算法将矩阵 和矩阵 转换为舒尔形式,再用逆向取代法求解三角矩阵。此算法若用LAPACK计算,或是GNU Octave的lyap
函数计算[6],计算复杂度是 个数学运算[来源请求]。也可以参考其中的sylvester
函数[7][8]。在一些特定的影像处理应用中,西尔维斯特方程会有解析解[9]。
相关条目
- 李亚普诺夫方程
- 代数Riccati方程
脚注
- ^ 不过也常写成等效的AX-XB=C.
- ^ Bhatia and Rosenthal, 1997
- ^ 不过若是要算其数值解,不建议写成此形式,因为求解的计算量很高,而且可能会是病态方程
- ^ Gerrish, F; Ward, A.G.B. Sylvester's matrix equation and Roth's removal rule. The Mathematical Gazette. Nov 1998, 82 (495): 423–430. doi:10.2307/3619888.
- ^ Bhatia and Rosenthal, p.3
- ^ 存档副本. [2017-12-27]. (原始内容存档于2018-11-14).
- ^ 存档副本. [2017-12-27]. (原始内容存档于2018-02-12).
- ^ The
syl
command is deprecated since GNU Octave Version 4.0 - ^ Wei, Q.; Dobigeon, N.; Tourneret, J.-Y. Fast Fusion of Multi-Band Images Based on Solving a Sylvester Equation. IEEE. 2015, 24 (11): 4109–4121. doi:10.1109/TIP.2015.2458572.
参考资料
- Sylvester, J. Sur l'equations en matrices px = xq. C. R. Acad. Sci. Paris. 1884, 99 (2): 67–71, 115–116.
- Bartels, R. H.; Stewart, G. W. Solution of the matrix equation AX +XB = C. Comm. ACM. 1972, 15 (9): 820–826. doi:10.1145/361573.361582.
- Bhatia, R.; Rosenthal, P. How and why to solve the operator equation AX -XB = Y ?. Bull. London Math. Soc. 1997, 29 (1): 1–21. doi:10.1112/S0024609396001828.
- Lee, S.-G.; Vu, Q.-P. Simultaneous solutions of Sylvester equations and idempotent matrices separating the joint spectrum. Linear Algebra Appl. 2011, 435 (9): 2097–2109. doi:10.1016/j.laa.2010.09.034.
- Wei, Q.; Dobigeon, N.; Tourneret, J.-Y. Fast Fusion of Multi-Band Images Based on Solving a Sylvester Equation. IEEE Transactions on Image Processing. 2015, 24 (11): 4109–4121. doi:10.1109/TIP.2015.2458572.
- Birkhoff and MacLane. A survey of Modern Algebra. Macmillan. 1965: 213, 299.