构造
设 是域 上一个向量空间。对任何非负整数 ,我们定以 的 次张量积为 与自己的 次张量积:
- 。
这便是讲, 由 上所有秩 张量组成。习惯上 是基域 (作为自己的一维向量空间)。
令 为所有 ( )的直和:
- 。
中的乘法由典范同构确定:
-
由张量积给出,然后线性扩张到所有 。此乘法表明张量代数 自然是一个分次代数, 作为 次子空间。
此构造可径直推广到任意交换环上的模 上。如果 是一个非交换环,我们仍然可以对任意 - 双模执行这样的构造。(对通常的 -模不行,因为没有迭代张量积。)
伴随与泛性质
张量代数 也成为向量空间 上的自由代数,并具有函子性。像其它自由构造一样,函子 左伴随于某个遗忘函子,该函子将每个 -代数送到它的底向量空间。
准确地说,张量代数满足如下的泛性质,正式地表明它是包含 的最一般的代数:
- 任何从 到 上的一个代数 的线性变换 可以惟一地扩张为从 到 的一个代数同态,如下交换图表所示:
这里 是 到 的典范包含(伴随的单位)。事实上可以定义张量代数 为满足这个性质惟一的代数(确切地说,在惟一的一个同构意义下),但仍然要证明满足这个性质的对象存在。
如上泛性质说明张量代数的构造有自然的函子性。就是讲, 是从 -Vect, 上向量空间范畴,到 -Alg, -代数范畴,的一个函子。 的函子性意味着任何从V到W的线性映射惟一地扩张为从 到 的代数同态。
非交换多项式
如果 为有限维 ,张量代数的另一个看法是“ 上 个非交换变量的多项式代数”。如果我们取 的基向量,它们成为 中的非交换变量(或不定元),彼此间没有任何约束(除了结合律,分配律以及K-线性)。
注意 上的多项式代数不是 ,而是 : 上一个(齐次)线性函数是 中的一个元素。
商
因为张量代数的一般性,许多其它有趣的代数可以由张量代数开始构造,然后在生成元上施以一定的关系,即构造 一定的商代数。这样的例子譬如外代数、对称代数、克利福德代数以及泛包络代数。
余代数结构
张量代数上的余代数结构如下。余积 定义为
-
线性扩张到整个 。余单位由 的0-次分量。注意到 保持分次:
-
而 也与分次相容。
张量代数在这个余积下不是双代数。但下述更复杂的余积确实得到一个余代数:
-
这里求和取遍所有(p,m-p)-牌序。最后,对极映射为:
-
线性扩张到整个 ,这样张量代数成为一个霍普夫代数。
参见
参考文献
- 陈维桓. 微分流形初步 第二版. 北京: 高等教育出版社. 2001年8月.
- Mac Lane, Saunders. Categories for the Working Mathematician(2nd ed.). GTM5. Spinger, 1998