婆罗摩笈多－斐波那契恒等式

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)&=a^{2}c^{2}+a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}\\&=\left(a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}{\color {red}-2abcd}\right)+\left(a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}{\color {red}+2abcd}\right)\\&=\left(ac-bd\right)^{2}+\left(ad+bc\right)^{2}\end{aligned}}}$ 

而若将${\displaystyle {\color {red}-2abcd}}$ 与${\displaystyle {\color {red}+2abcd}}$ 互换位置，即可得

${\displaystyle \left(ac+bd\right)^{2}+\left(ad-bc\right)^{2}}$ 

四平方和恒等式是一个类似的等式，含有四个平方和，与四元数有关。还有一个八平方和恒等式（英语：Degen's eight-square identity）。

如果${\displaystyle a}$ 、${\displaystyle b}$ 、${\displaystyle c}$ 和${\displaystyle d}$ 是实数，那么这个等式与复数的绝对值的乘法性质是等价的，也就是说：

${\displaystyle |a+bi||c+di|=|(a+bi)(c+di)|\,}$ 

由于

${\displaystyle |a+bi||c+di|=|(ac-bd)+i(ad+bc)|,\,}$ 

两边平方，得

${\displaystyle |a+bi|^{2}|c+di|^{2}=|(ac-bd)+i(ad+bc)|^{2},\,}$ 

根据绝对值的定义，

${\displaystyle (a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}.\,}$ 

在${\displaystyle a}$ 、${\displaystyle b}$ 、${\displaystyle c}$ 和${\displaystyle d}$ 是有理数的情况中，这个等式可以解释为域${\displaystyle Q(i)}$ 的范数是积性的。也就是说：

${\displaystyle N(a+bi)=a^{2}+b^{2}\,}$ 且${\displaystyle N(c+di)=c^{2}+d^{2},\,}$ 

而且

${\displaystyle N[(a+bi)(c+di)]=N[(ac-bd)+i(ad+bc)]=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}.\,}$ 

所以，这个等式就是说

${\displaystyle N[(a+bi)(c+di)]=N(a+bi)\cdot N(c+di).\,}$ 

• 婆罗摩笈多矩阵
• 复数
• 四平方和恒等式

• PlanetMath
• MathWorld （页面存档备份，存于互联网档案馆）