可平行化流形

数学中，一个 n 维光滑流形 M 为可平行化流形 是指具有向量场

V1, ..., Vn,

使得在 M 中任何一点 P 的切向量

Vi, P

组成 P 点切空间的一组基。等价地说，切丛是平凡丛，所以相伴的线性标架主丛有一个 M 的整体截面。

选取 M 上这样特定的一组向量场的基称为 M 的一个平行化或绝对平行化。

例子

n=1 的一个例子是圆周：我们取 V1 为单位切向量场，比如都指向逆时针方向。n 维环面也可以平行化，因为可以看作是圆周的笛卡尔积。譬如取 n=2，将正方形坐标纸的对边粘贴起来便组成了一个环面，取每个点的两个切方向即可。更一般地，任何李群 G 可平行化，因为在单位元的切空间上一组基可以通过变换群 G 在 G 上的作用移到任何一点。（任何变换是一个微分同胚从而这些微分同胚诱导了 G 上点的切空间的一个线性同构。）

一个经典问题是确定一个球面 Sn 是否可平行化。S1 即为圆周，可以平行化已经解释了。毛球定理指出 S2 n 不能平行化。但是 S3 可以平行化，因为它就是李群 SU(2)。剩下惟一可平行化的球面是 S7；1958年被 Michel Kervaire 证明，拉乌尔·博特和约翰·米尔诺也独立地得到了这个结论。

注

  • 术语标架流形（或装备流形）通常用于给定了一个法丛的平凡化的嵌入流形。