渐伸线

渐开线方程曲线的参数化定义的函数( x(t) , y(t) ) 是:

${\displaystyle X[x,y]=x-{\frac {x'\int _{a}^{t}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}\,dt}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}}$ 

${\displaystyle Y[x,y]=y-{\frac {y'\int _{a}^{t}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}\,dt}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}}$ 

圆的渐伸线

圆的渐伸线会形成一个类似阿基米德螺线的图形。

• 在笛卡儿坐标系中，一个圆的渐开线的参数方程可以写成：

${\displaystyle \,x=a\left(\cos \ t+t\sin \ t\right)}$ 

${\displaystyle \,y=a\left(\sin \ t-t\cos \ t\right)}$ 

其中${\displaystyle \,a}$ 是圆的半径，${\displaystyle \,t}$ 为参数

• 在 极坐标系中， ${\displaystyle \,r,\theta }$  一个圆的渐开线的参数方程可以写成：

${\displaystyle \,r=a\sec \alpha }$ 

${\displaystyle \,\theta =\tan \alpha -\alpha }$ 

其中 ${\displaystyle \,a}$  是圆的半径 ${\displaystyle \,\alpha }$ 为参数

通常，一个圆的渐开线常被写成写成：

${\displaystyle \,r=a{\sqrt {1+t^{2}}}}$ 

${\displaystyle \,\theta =\arctan {\frac {\cos t+t\sin t}{\sin t-t\cos t}}}$ .

欧拉建议使用圆的渐开线作为齿轮的形状, 这个设计普遍存在于目前使用，称为渐开线齿轮。

悬链线的渐开线

一个悬链线的渐开线 会通过此悬链线的顶点 ，形成曳物线。 在笛卡儿坐标系中，一个悬链线的渐开线的参数方程可以写成：

${\displaystyle x=t-\mathrm {tanh} (t)\,}$ 

${\displaystyle y=\mathrm {sech} (t)\,}$ 

其中t 是参数，而sech是双曲正割函数(1/cosh(x))

衍生

用${\displaystyle r(s)=(\sinh ^{-1}(s),\cosh(\sinh ^{-1}(s)))\,}$ 

我们得到 ${\displaystyle r^{\prime }(s)=(1,s)/{\sqrt {1+s^{2}}}\,}$ 

且${\displaystyle r(t)-tr^{\prime }(t)=(\sinh ^{-1}(t)-t/{\sqrt {1+t^{2}}},1/{\sqrt {1+t^{2}}})}$ 。

替代成${\displaystyle t={\sqrt {1-y^{2}}}/y}$ 

可得到 ${\displaystyle ({\rm {sech}}^{-1}(y)-{\sqrt {1-y^{2}}},y)}$ 。

摆线的渐开线

一个 摆线的渐开线是另一个与它 全等的摆线 在笛卡儿坐标系中，一个摆线的渐开线的参数方程可以写成：

${\displaystyle x=r(t-\sin(t))\,}$ 

${\displaystyle y=r(1-\cos(t))\,}$ 

其中t是角度，r是半径

• 渐屈线
• 涡旋压缩机
• 渐开线齿轮

• Xah: Special Plane Curves: Involute （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Evolute （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Mathworld （页面存档备份，存于互联网档案馆）