弱可测函数

(X,Σ)是一个可测空间，并且B是域K（通常是实数空间R或复数空间C）上的巴拿赫空间，如果函数f:X→B满足如下条件，对于任意连续线性泛函g:B→K，函数

${\displaystyle g\circ f\colon X\to \mathbf {K} \colon x\mapsto g(f(x))}$ 

是关于Σ和K上一般的波莱尔σ代数的可测函数，则f被称为是弱可测的。

概率空间上的可测函数通常被称为随机变量（或随机向量，如果它在例如巴拿赫空间B的向量空间中取值）。因此，作为上述定义的特殊情形，如果(Ω,Σ,P)是一个概率空间，如果函数Z:Ω→B满足，对于任意连续线性泛函g:B→K，函数

${\displaystyle g\circ Z\colon \Omega \to \mathbf {K} \colon \omega \mapsto g(Z(\omega ))}$ 

是在一般意义下的关于Σ和K上一般的波莱尔σ代数的K值随机变量（即可测函数），则函数Z被称为（B值）弱随机变量（或弱随机向量）。

可测性和弱可测性之间的关系由如下给出，被称为Pettis定理或Pettis可测性定理。

如果存在子集N⊆X有测度μ(N)=0使得f(X\N)⊆B是可分的，则函数f被称为几乎必然可分值的（或本性可分值的）。

定理（Pettis）：一个函数f:X→B定义在在测度空间(X,Σ,μ)上在巴拿赫空间B中取值，它是（强）可测的（关于Σ上的波莱尔σ代数）当且仅当它是弱可测的且几乎必然可分值的。^[1]

在B可分的情形下，由于可分巴拿赫空间的任何子集本身是可分的，所以可以取上述N为空集，由此可知当B可分时弱可测性和强可测性的概念一致。

• 博赫纳可测函数（英语：Bochner measurable function）
• 博赫纳积分
• 佩蒂斯积分（英语：Pettis integral）
• 向量值测度（英语：Vector-valued measure）