拉普拉斯分布

如果随机变量的概率密度函数分布为

${\displaystyle f(x|\mu ,b)={\frac {1}{2b}}\exp \left(-{\frac {|x-\mu |}{b}}\right)\,\!}$ 

${\displaystyle ={\frac {1}{2b}}\left\{{\begin{matrix}\exp \left(-{\frac {\mu -x}{b}}\right)&{\mbox{if }}x<\mu \\[8pt]\exp \left(-{\frac {x-\mu }{b}}\right)&{\mbox{if }}x\geq \mu \end{matrix}}\right.}$ 

那么它就是拉普拉斯分布。其中，μ 是位置参数，b > 0 是尺度参数。如果 μ = 0，b=1, 那么，正半部分恰好是1/2倍 λ = 1的指数分布。

拉普拉斯分布的概率密度函数让我们联想到正态分布，但是，正态分布是用相对于 μ 平均值的差的平方来表示，而拉普拉斯概率密度用相对于平均值的差的绝对值来表示。因此，拉普拉斯分布的尾部比正态分布更加平坦。

根据绝对值函数，如果将一个拉普拉斯分布分成两个对称的情形，那么很容易对拉普拉斯分布进行积分。它的累积分布函数为：

逆累积分布函数为

${\displaystyle F^{-1}(p)=\mu -b\,\operatorname {sgn}(p-0.5)\,\ln(1-2|p-0.5|)}$ 

已知区间 (-1/2, 1/2] 中均匀分布上的随机变量 U，随机变量

${\displaystyle X=\mu -b\,\operatorname {sgn}(U)\,\ln(1-2|U|)}$ 

为参数 μ 与 b 的拉普拉斯分布。根据上面的逆累计分布函数可以得到这样的结果。

当两个相互独立同分布指数(1/b)变化的时候也可以得到 Laplace(0, b) 变量。同样，当两个相互独立同分布一致变量的比值变化的时候也可以得到 Laplace(0, 1) 变量。

• 如果 ${\displaystyle Y=|X-\mu |}$  并且 ${\displaystyle X\sim \mathrm {Laplace} }$ ，则 ${\displaystyle Y\sim \mathrm {Exponential} }$  是指数分布。
• 如果 ${\displaystyle Y=X_{1}-X_{2}}$  与 ${\displaystyle X_{1},\,X_{2}\sim \mathrm {Exponential} }$ ，则 ${\displaystyle Y\sim \mathrm {Laplace} }$ 。

参数估计

给定N个独立同分布的样本${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{N}}$ ，${\displaystyle \mu }$ 的极大似然估计${\displaystyle {\hat {\mu }}}$ 为样本的中位数，${\displaystyle b}$ 的极大似然估计${\displaystyle {\hat {b}}}$ 为样本与样本中位数${\displaystyle {\hat {\mu }}}$ 的平均绝对偏差，即

${\displaystyle {\hat {b}}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left\vert x_{i}-{\hat {\mu }}\right\vert }$ 

（揭示了拉普拉斯分布和最小绝对偏差（LAD）之间的联系）。

在回归分析中，如果误差具有拉普拉斯分布，则最小绝对偏差估计（LADE）将作为最大似然估计（MLE）出现。