图 (数学)

在图论中，图的定义有很多。下面是一些比较基本的定义方式以及与它们相关的数学结构。

图

一张图（为了和有向图区分，也称无向图；为了和多重图区分，也称简单图）^[4][5]是一个二元组G = (V, E)，其中集合V中的元素称为节点，集合E中的元素是两个节点组成的无序对，称为边。集合V称为点集，E称为边集。

一条边${\displaystyle \{x,y\}}$ 上的两个节点x和y称作这条边的顶点或端点；也说这条边连接了节点x和y，或这条边与x和y关联（英语：incident）。一个节点可以不属于任何边，即它不与任何节点相连。由于${\displaystyle \{x,y\}}$ 是无序对，${\displaystyle \{x,y\}}$ 和${\displaystyle \{y,x\}}$ 表示的是同一个元素。

更一般地，多重图的定义中允许同一对节点之间存在多条不同的边。在特定语境中，多重图也可以直接称作图。^[6][7]此时，在上面的定义中，集合E应该为多重集。

有时，图的定义中允许自环（简称环，英语：loop），即一条连接一个节点和其自身的边。允许自环的图也称为自环图。

点集V一般是有限集；这意味着边集E也是有限集（不考虑多重图）。相对地，无限图（英语：infinite graph）中的点集可以是无限的。然而，由于有限图中的结论大多不能延伸到无穷图，无穷图通常更被视为一种特殊的二元关系。

一个点集为空集的图称为空图（因此边集也是空集）。图的阶（英语：order）是指其中节点的数量，即|V|。图的边数是指其边的数量，即|E|。图的大小（size）一般也指图的边数。但在一些语境中，例如描述算法复杂度的时候，图的大小是指|V|+|E|（否则非空图的大小也有可能是0）。节点的度（英语：degree或valency）是指连接到该节点的边的数量；对于允许自环的图，环要算做两条边（因为两端都连接到这个节点）。

如果一个图的阶是n，则其节点的度最大可能取n-1（对于允许自环的图则是n），而边最多可能有n(n − 1)/2条(对于允许自环的图则是n(n + 1)/2）。

在图的定义中，边的概念定义了节点上的一个对称关系，即“邻接”关系（英语：adjacency relation）。具体地说，对于两个节点x和y，如果${\displaystyle \{x,y\}}$ 是一条边，则称它们是邻接的。一张图因此可以用其邻接矩阵A来表示，即一个${\displaystyle n\times n}$ 的矩阵，其中每个元素A_ij表示节点i和j之间的边的数量。对于一个简单图，总有${\displaystyle A_{ij}\in \{0,1\}}$ ，分别表示“不相连”和“相连”，而${\displaystyle A_{ii}=0}$ （即一条边的两个顶点不能相同）。允许自环的图上${\displaystyle A_{ii}}$ 的取值可以是非负整数，而多重图则允许任何${\displaystyle A_{ij}}$ 的取值都是非负整数。无向图的邻接矩阵是对称阵（${\displaystyle A_{ij}=A_{ji}}$ ）。

有向图

边为有方向的图称作有向图（英语：directed graph或digraph）。

有向图的一种比较严格的定义^[8]是这样的：一个二元组${\displaystyle G=(V,E)}$ ，其中

• ${\displaystyle V}$ 是节点的集合；
• ${\displaystyle E\subseteq \{(x,y)\mid (x,y)\in V^{2}\wedge x\neq y\}}$ 是边（也称为有向边，英语：directed edge或directed link；或弧，英语：arcs）的集合，其中的元素是节点的有序对。

为了和多重图区分，这样的有向图也称为有向简单图。

在从${\displaystyle x}$ 到${\displaystyle y}$ 的边${\displaystyle (x,y)}$  上，节点${\displaystyle x}$ 和${\displaystyle y}$ 称作这条边的顶点，其中${\displaystyle x}$ 是起点或尾（英语：tail），${\displaystyle y}$ 是终点或头。^[9]也说这条边连接了节点${\displaystyle x}$ 和${\displaystyle y}$ 、这条边与节点${\displaystyle x}$ 和${\displaystyle y}$ 关联。一张有向图中的节点可以不属于任何一条边。边${\displaystyle (y,x)}$ 称为边${\displaystyle (x,y)}$ 的反向边。

节点的出度（英语：out-degree）是指起点为该节点的边的数量；节点的入度（英语：in-degree）是指终点为该节点的边的数量。

更一般地，如果一张有向图允许多条头尾都分别相同的边，则称这样的图为有向多重图，这样的边称为多重边。一种允许多重边的的有向图定义方法如下^[8]：一个有向图是这样的三元组${\displaystyle G=(V,E,\phi )}$ ：

• ${\displaystyle V}$ 是节点的集合；
• ${\displaystyle E}$ 是边的集合；
• ${\displaystyle \phi :E\to \{(x,y)\mid (x,y)\in V^{2}\wedge x\neq y\}}$ 是一个关联函数，将每条边映射到一个由顶点组成的有序对上（即一条边被按顺序关联到两个顶点）。

自环是指一条起点和终点相同的边。前面的两个定义都不允许自环，因为若节点${\displaystyle x}$ 上有一个自环，则边${\displaystyle (x,x)}$ 存在；但这样的边不在${\displaystyle \{(x,y)\mid (x,y)\in V^{2}\wedge x\neq y\}}$ 中。因此，如果要允许自环，则上面的定义要做修改：对于有向简单图，${\displaystyle E}$ 的定义应该修改为${\displaystyle E\subseteq \{(x,y)\mid (x,y)\in V^{2}\}}$ ；对于有向多重图，${\displaystyle \phi }$ 的定义应该修改为${\displaystyle \phi :E\to \{(x,y)\mid (x,y)\in V^{2}\}}$ 。为了避免定义不清，这样的图分别称作允许自环的有向简单图或允许自环的有向多重图（英语：quiver（英语：Quiver (mathematics)））。

在允许自环的有向简单图${\displaystyle G}$ 中，边是${\displaystyle V}$ 上的一个齐次关系（英语：Binary relation#Homogeneous relation）${\displaystyle \sim }$ ，称作${\displaystyle G}$ 上的邻接关系。 对于顶点是${\displaystyle x}$ 和${\displaystyle y}$ 的边${\displaystyle (x,y)}$ ，我们说${\displaystyle x}$ 和${\displaystyle y}$ 是彼此邻接的，记作${\displaystyle x\sim y}$ 。

混合图

边既可以有向、也可以无向的图称作混合图。混合简单图是一个多元组G = (V, E, A)，而混合多重图则是多元组G = (V, E, A, ϕ_E, ϕ_A)，其中V、E（无向边集）、A（有向边集）、ϕ_E、ϕ_A的定义可以参考前面的无向图和有向图定义。在此定义下，有向图和无向图是混合图的特殊情况。

赋权图

赋权图（英语：weighted graph，也称加权图、网络（英语：network））^[10][11]是指每条边都对应有一个数字（即“权重”，weight）的图。^[12]根据具体问题，权重可以表示诸如费用、长度或容量等意义。这样的图会出现在最短路径问题和旅行商问题等问题中。

• 子图（subgraph）：对于图${\displaystyle G}$ 和图${\displaystyle G'}$ ，若${\displaystyle V(G')\subseteq V(G)}$ 且${\displaystyle E(G')\subseteq E(G)}$ ，则称${\displaystyle G'}$ 是${\displaystyle G}$ 的子图。
• 生成子图（spanning subgraph）：指满足条件${\displaystyle V(G')=V(G)}$ 的${\displaystyle G}$ 的子图${\displaystyle G'}$ 。
• 链(chain或walk)、轨迹(trail)、路径(path)：链是顶点${\displaystyle v_{i}}$ 和边${\displaystyle e_{i}}$ 交替出现的序列${\displaystyle W=v_{i_{0}}e_{i_{0}}v_{i_{1}}...e_{i_{k}}v_{i_{k}}}$ 称作一个长度为k的链，其中${\displaystyle v_{i_{0}}}$ 和${\displaystyle v_{i_{k}}}$ 为其端点，其余顶点为内部点。所有边都不相同的链称为轨迹（简称迹）。所有顶点都不相同的轨迹称为路径（简称路）。在有向图中，若链（迹、路）的方向和其中每条边的方向一致，则称其为有向链（迹、路）。^[13]
• 两端点相同的链和迹分别称为闭链（或环，cycle）、闭迹（或回路，circuit）。
• 距离（Distance）： 从顶点${\displaystyle u}$ 出发到顶点${\displaystyle v}$ 的最短路径若存在，则此路径的长度称作从${\displaystyle u}$ 到${\displaystyle v}$ 的距离。

正则图

正则图是指每个节点的邻居（英语：neighbor）数量都相同的图，即每个节点的度都相同的图。节点的度为k的正则图也称作k-正则图。

完全图

完全图（英语：complete graph）是指每对节点之间都有一条边相连的图。一张完全图包含简单图所有可能出现的边。

有限图

有限图（英语：finite graph）是指点集和边集是有限集的图。否则，则称为无限图。在不加说明的情况下，图论中讨论的图大多是有限图。

连通图

在无向图中，如果存在x和y之间的路径，则称此两节点的无序对${\displaystyle \{x,y\}}$ 是连通的；否则，则称此两点是非联通的。

连通图是指每对节点都连通的无向图。否则，则称图是非连通图。

在有向图中，如果存在x和y之间的有向路径，则称此两节点的有序对${\displaystyle \{x,y\}}$ 是强连通的。此外，若将图中的所有边都换为无向边，得到的无向图中存在x和y之间的路径，则称此两节点是弱连通的。否则，则称此两点是非联通的。

强连通图是指每对节点都强连通的有向图。此外，弱连通图是指每对节点都弱联通的有向图。否则，则称图是非连通图。

对于一张图，若不存在大小为k − 1的点集或边集，使得从图中移除该集合后，图就变为非连通图，则称该图是k-点连通图（英语：k-vertex-connected graph）或k-边连通图（英语：k-edge-connected graph）。k-点连通图通常也简称k-连通图。

二分图

二分图（英语：bipartite graph）是指这样的简单图：其点集可以被划分称两个集合W和X，其中W中的任意两个节点之间没有边相连，X中的任意两个节点之间也没有边相连。二分图是点着色色数为2的图。

若一张图的点集是两个集合W和X的无交并，使得W中的任意节点都和X中的所有节点邻接，且W或X之内没有边，则称此图是完全二分图。

平面图

平面图是指可以将其节点和边画在平面上，而没有两边相交的图。

循环图

阶为n≥3的循环图（英语：cycle graph）或环形图（英语：circular graph）是指其节点可以列为v₁, v₂, …, v_n，使得图中的边为${\displaystyle \{v_{i},v_{i+1}\}}$ ，其中i=1, 2, …, n − 1，以及${\displaystyle \{v_{n},v_{1}\}}$ 。循环图的另一种定义是所有点的度都为2的连通图。如果循环图是另一个图的子图，则它是那个图中的一个环。

树和森林

树是指任意两点之间都有且仅有一条路径的无向图。等价地，树是一个连通无环无向图。

森林是指任意两点之间至多仅有一条路径的无向图。等价地，森林是一个无环无向图，或一组树的无交并。

其它特殊的图

一些进阶的特殊图包括：

• 佩特森图；
• 完美图（英语：perfect graph）；
• 弦图；
• 强正则图（英语：strongly regular graph）。

• 右边的图示是一个点集为${\displaystyle V=\{1,2,3,4,5,6\}}$ 、边集为${\displaystyle E=\{\{1,2\},\{1,5\},\{2,3\},\{2,5\},\{3,4\},\{4,5\},\{4,6\}\}}$ 的图。
• 在计算机科学中，有向图可以用于表示概念图、有限状态自动机，以及其它许多数据结构。
• 任意集合X上的二元关系R都可定义一个有向图。X中的元素x到y有一条边，当且仅当xRy。
• 有向图可以用于表示信息网络。例如，在推特上，用户之间的关注关系可以用有向图表示。^[14][15]

图上可以进行一些运算或变换，使一个图变为另一个图：

• 一元运算，将一个图变换为另一个图，例如：
  • 边收缩，
  • 线图，
  • 对偶图，
  • 补图；
• 二元运算，结合两个图为一个新图，例如：
  • 图的无交并（英语：disjoint union of graphs），
  • 图乘积，包括图的笛卡尔乘积（英语：cartesian product of graphs）、图的张量积（英语：tensor product of graphs）、图的强乘积（英语：strong product of graphs）、图的字典积等，
  • 图的串并联（英语：series–parallel graph）等。

在超图中，允许一条边连接多于两个节点。

无向图可以看作是由1-单纯形（边）和0-单纯形（节点）组成的单纯复形。由此，复形成为图的推广，其中允许维度更高的单纯形。

图可以看作是一种拟阵。

在模型论中，图是一个结构。这样一来，边的数量可以是任意基数。参见图极限。

在计算生物学中，幂图（英语：power graph analysis）推广了无向图的定义。

在地理信息系统中，为了进行道路网络或电网的时空分析而提出的几何网络（英语：geometric networks）的定义参考了图，并借用了许多图论的概念。

• 概念图
• 图 (数据结构)
• 图论
• 图数据库
• 网络理论

脚注

文献

• Introduction To Graph Theory, by Gary Chartrand and Ping Zhang, McGraw Hill
• 徐, 俊明. 图论及其应用 第二版. 合肥: 中国科学技术大学出版社. 2004. ISBN 7-312-00979-4. 
• Balakrishnan, V. K. Graph Theory 1st. McGraw-Hill. 1997. ISBN 978-0-07-005489-9. 
• Bang-Jensen, J.; Gutin, G. Digraphs: Theory, Algorithms and Applications. Springer. 2000 [2021-08-14]. （原始内容存档于2011-08-26）. 
• Bender, Edward A.; Williamson, S. Gill. Lists, Decisions and Graphs. With an Introduction to Probability. 2010 [2021-08-14]. （原始内容存档于2021-08-17）. 
• Berge, Claude. Théorie des graphes et ses applications. Paris: Dunod. 1958 （法语）. 
• Biggs, Norman. Algebraic Graph Theory 2nd. Cambridge University Press. 1993. ISBN 978-0-521-45897-9. 
• Bollobás, Béla. Modern Graph Theory 1st. Springer. 2002. ISBN 978-0-387-98488-9. 
• Diestel, Reinhard. Graph Theory 3rd. Berlin, New York: Springer-Verlag. 2005 [2021-08-14]. ISBN 978-3-540-26183-4. （原始内容存档于2019-12-16）. 
• Graham, R.L.; Grötschel, M.; Lovász, L. Handbook of Combinatorics. MIT Press. 1995. ISBN 978-0-262-07169-7. 
• Gross, Jonathan L.; Yellen, Jay. Graph Theory and Its Applications. CRC Press. 1998. ISBN 978-0-8493-3982-0. 
• Gross, Jonathan L.; Yellen, Jay. Handbook of Graph Theory. CRC. 2003. ISBN 978-1-58488-090-5. 
• Harary, Frank. Graph Theory. Addison Wesley Publishing Company. 1995. ISBN 978-0-201-41033-4. 
• Iyanaga, Shôkichi; Kawada, Yukiyosi. Encyclopedic Dictionary of Mathematics. MIT Press. 1977. ISBN 978-0-262-09016-2. 
• Zwillinger, Daniel. CRC Standard Mathematical Tables and Formulae 31st. Chapman & Hall/CRC. 2002. ISBN 978-1-58488-291-6. 
• Trudeau, Richard J. Introduction to Graph Theory Corrected, enlarged republication. New York: Dover Publications. 1993 [8 August 2012]. ISBN 978-0-486-67870-2. （原始内容存档于2019-05-05）. 

• Springer-Verlag, Heidelberg. Graph Theory. 2016 [2019-07-22]. （原始内容存档于2012-02-08）. 
•   维基共享资源上的相关多媒体资源：图
• 埃里克·韦斯坦因. Graph. MathWorld.