幂数
幂数[1](英语:powerful number)也称为幂次数,是指一正整数,其所有素因数的平方亦是的约数,换言之,若存在一素因数,则也是的约数。
幂数可表示为一个平方数及立方数的乘积,若及为正整数(包括1在内),即为幂数。而平方数及立方数本身(及整数的更高次方)也是幂数。
保罗·埃尔德什及乔治·塞凯赖什都曾针对这类数字进行研究,而数学家Solomon W. Golomb将这类的数命名为“powerful number”,“powerful”应该是指数字由许多幂所组成,但此词恰巧也有“强大的”、“有力的”的意思。
以下是1000以内幂数的列表:
数学性质
幂数的素因数分解中,各素因数指数均大于1。
幂数的倒数和收敛,其值为:
其中
若用k(x)来表示当1≤n≤x时,幂数n的个数,则k满足以下的不等式
。
佩尔方程x2-8y2=1有无限多个正整数解,因此存在无限多组连续的幂数(若x、y为正整数解,则x2及8y2即为二个连续的幂数),其中最小的是8和9[2]。而8和9恰好也是唯一一组连续的次方数(卡塔兰猜想,后来已被数学家普雷达·米哈伊列斯库证明)。
幂数的和与差
每一个奇数都可以表示为二个连续数字的平方的差:(k + 1)2 = k2 + 2k +12,因此 (k + 1)2 - k2 = 2k + 1。而每一个4的倍数都可以表示为二个彼此差2的正整数,其平方的差:(k + 2)2 - k2 = 4k + 4。以上数字均可表示为二平方数的差,因此可就是二个幂数的差。
但无法被4整除的偶数(即奇偶数)无法表示为二个平方数的差,但不确定是否可表示为二个幂数的差,然而Golomb发现以下的等式
- 2=33-52
- 10=133-37
- 18=192-73=32(33-52)
以上的等式未包括6,Golomb猜想有无穷多个奇偶数无法表示为二个幂数的差,不过后来Narkiewicz发现6也可以表示为二个幂数的差:
- 6=5473-4632
而且可以找到无限多组的幂数,二个幂数之间的差为6。而McDaniel证明每个整数都有无限多组表示为二个幂数的差的方法[3]。
保罗·埃尔德什猜想每一个足够大的整数均可表示为最多三个幂数的和,后来由Roger Heath-Brown证实了保罗·埃尔德什的猜想[4]。
一般化
幂数的素因数分解中,所有的指数均不小于2。以此概念再延伸,若一整数的素因数分解中,所有的指数均不小于k,可称为k-幂数。
- (2k+1}-1)k, 2k(2k+1-1)k, (2k+1-1)k+1
是由k-幂数所组成的等差数列,若a1, a2, ..., as是由k-幂数所形成的等差数列,公差为d,则
- a1(as+d)k, a2(as+d)k, ..., as(as+d)k, (as+d)k+1
则是由s+1个项k-幂数所组成的等差数列。
以下是一个有关k-幂数的恒等式:
- ak(an+...+1)k+ak+1(an+...+1)k+...+ak+n(an+...+1)k=ak(an+...+1)k+1
因此可以找到无穷多组的k-幂数,其个数为n+1个,而这些k-幂数的和也是k-幂数。Nitaj证明了存在无穷多组互素的3-幂数x、y、z,满足x+y=z的形式[5]。Cohn找到一个可产生无穷多组互素,且非立方数的3-幂数x、y、z,可满足x+y=z的方法:以下的数组
- X=9712247684771506604963490444281, Y=32295800804958334401937923416351, Z=27474621855216870941749052236511
是方程式32X3 + 49Y3 = 81Z3的解(因此32X3、49Y3及81Z3即为上述的3-幂数数组)。令X′=X(49Y3 + 81Z3), Y′ = −Y(32X3 + 81Z3), Z′ = Z(32X3 − 49Y3),再除以其最大公约数即为一组新的解。
関连项目
- 阿喀琉斯数
- 次方数
注解
- ^ 詞都 幂数. [2012-02-05]. (原始内容存档于2019-05-19).
- ^ 2.0 2.1 2.2 S. W. Golomb, Powerful numbes, Amer. Math. Monthly 77(1970), 848--852.
- ^ Wayne L. McDaniel, Representations of every integer as the difference of powerful numbers, Fibonacci Quart. 20(1982), 85--87.
- ^ D. R. Heath-Brown, Sums of three square-full numbers, in Number Theory, I(Budapest, 1987), Colloq. Math. Soc. János Bolyai 51(1990), 163--171. Brown, 1987)
- ^ *A. Nitaj, On a conjecture of Erdös on 3-powerful numbers, Bull. London Math. Soc. 27 (1995), 317--318.
延伸阅读
- J. H. E. Cohn, A conjecture of Erdös on 3-powerful numbers, Math. Comp. 67 (1998), 439--440. [1] (页面存档备份,存于互联网档案馆)
- P. Erdös & G. Szekeres, Über die Anzahl der Abelschen Gruppen gegebener Ordnung und über ein verwandtes zahlentheoretisches Problem, Acta Litt. Sci. Szeged 7(1934), 95--102.
- Richard Guy, Section B16 in Unsolved Problems in Number Theory, Springer-Verlag, 3rd edition, 2004; 编辑
- Powerful number in mathworld (页面存档备份,存于互联网档案馆)