立方数

首${\displaystyle n}$ 个正立方数之和为${\displaystyle \left[{\frac {n(n+1)}{2}}\right]^{2}}$ ，即第${\displaystyle n}$ 个三角形数的平方

每个整数均可表示成9个或以下的正立方数之和。（华林问题）

1939年，狄克森证明只有23和239需要用9个正立方数的和来表示。

亚瑟·韦伊费列治证明只有15个整数须用8个：15, 22, 50, 114, 167, 175, 186, 212, 231, 238, 303, 364, 420, 428, 454 （  A018889）

的士数和士的数都指最小能表示成两个立方数之和的数，但的士数的必须为正数，士的数则无此限。（见1729）

只有一组连续三个立方数之和亦是立方数，就是3, 4, 5的立方，其和等于6的立方。

在十进制，除了1之外，仅有4个的正整数其数字立方之和等同它本身，它们为153, 370, 371, 407，他们是${\displaystyle n=3}$ 的自恋数。这4个三位数，亦可视为将它的数字分成三份，每份的立方之和，相似性质的整数有无限个，如165033, 221859, 336700等（  A056733）。

• 除了0以外，立方数不可能是普洛尼克数。^{[注 1]}
• 除了0以外，立方数也不可能是连续若干个（至少两个）数的积。^{[注 2]}
• 除了0，1，8以外，立方数不可能是费波那契数。
• 除了1以外，立方数也不可能是卢卡斯数。
• 除了0，1以外，立方数不可能是佩尔数。
• 除了0，1以外，立方数不可能是三角形数、五角数等多边形数。
• 除了1以外，立方数不可能是中心正方形数、中心五边形数等中心多边形数。
• 除了1，8以外，立方数也不可能是乌拉姆数列出现的数。
• 除了1，226981（61的立方）以外，立方数不可能是星数。
• 除了1以外，立方数在杨辉三角形只出现二次。
• 除了0000和9999以外，立方数末4四位数不可能相同
• 立方数不可能是楔形数、半质数。
• 0以外的立方数每一位数数字相加之和，不停重复地相加到剩一位数时必定是 1, 8, 9。
• 是否在相继立方数之间存在一个素数这一命题，对1000000000000以内的数目是正确的。
• 立方数是模任何整数的三次剩余；另外，如果某个整数是模任何整数的三次剩余，那么它一定是立方数。
• 立方数的正因数个数一定是3的倍数加1。

${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=k}$ 的整数解

1. 方程${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=3}$ 除了有4组解${\displaystyle (1,1,1),(4,4,-5),(4,-5,4),(-5,4,4)}$ 以外，是否还有其它整数解？
2. 方程${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=33}$ 有整数解${\displaystyle (8866128975287528,-8778405442862239,-2736111468807040)}$ ^[1]
3. 方程${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=42}$ 有整数解${\displaystyle (-80538738812075974,80435758145817515,12602123297335631)}$ ^[2]
4. 方程${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=114}$ 是否有整数解？

• 立方质数的定义为${\displaystyle {\frac {x^{3}-y^{3}}{x-y}}}$ ，其中${\displaystyle x=y+1}$ 或${\displaystyle x=y+2}$ 。

• 平方数
• 四次方数
• 五次方数

• http://mathworld.wolfram.com/CubicNumber.html （页面存档备份，存于互联网档案馆）