根系 (数学)

设 ${\displaystyle V}$  为有限维实向量空间，并赋予标准的内积 ${\displaystyle (,)}$ 。${\displaystyle V}$  中的根系是有限个向量（称为根）构成的集合 ${\displaystyle \Phi }$ ，满足下述条件：

1. ${\displaystyle \Phi }$  的元素张出 ${\displaystyle V}$ 。
2. 对任一 ${\displaystyle \alpha \in \Phi }$ ，其属于 ${\displaystyle \Phi }$  的标量倍数只有 ${\displaystyle \pm \alpha }$ 。
3. 对任意 ${\displaystyle \alpha \in \Phi }$ ，集合 ${\displaystyle \Phi }$  在对 ${\displaystyle \alpha }$  的反射之下不变。在此的反射是指

   ${\displaystyle \sigma _{\alpha }(\beta )=\beta -2{\frac {(\alpha ,\beta )}{(\alpha ,\alpha )}}\alpha \in \Phi .}$ 

4. （整性）若 ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \Phi }$ ，则 ${\displaystyle \beta }$  在 ${\displaystyle \alpha }$  方向的投影乘以2是 ${\displaystyle \alpha }$  的整数倍，即：

   ${\displaystyle \langle \beta ,\alpha \rangle :=2{\frac {(\alpha ,\beta )}{(\alpha ,\alpha )}}\in \mathbb {Z} ,}$ 

根据性质三，整性等价于：对任意 ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \Phi }$ ，${\displaystyle \sigma _{\alpha }(\beta )}$  与 ${\displaystyle \beta }$  仅差 ${\displaystyle \alpha }$  的整数倍。此外，注意到性质四定义的尖积

${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle \colon \Phi \times \Phi \to \mathbb {Z} }$ 

并非一个内积，它未必对称，而且只对第一个参数是线性的。

根系 ${\displaystyle \Phi }$  的秩定义为 ${\displaystyle V}$  的维度。

给定两个根系 ${\displaystyle (V,\Phi ),(W,\Psi )}$ ，可考虑其正交直和 ${\displaystyle V\oplus W}$ ，则 ${\displaystyle \Phi \sqcup \Psi }$  自然地构成其中的根系。若一个根系无法表成如此的组合（当然，假设 ${\displaystyle V,W\neq \{0\}}$ ），则称之为不可约的。

对两个根系 ${\displaystyle (E_{1},\Phi _{1}),(E_{2},\Phi _{2})}$ ，若存在其间的线性同构，使得 ${\displaystyle \Phi _{1}}$  映至 ${\displaystyle \Phi _{2}}$ ，则称它们为同构的根系。

对于根系 ${\displaystyle (V,\Phi )}$ ，对根的反射生成一个群，称为该根系的外尔群。可证明此群在 ${\displaystyle \Phi }$  上忠实地作用，因此必为有限群。

秩为1的例子

在同构的意义下，秩一的根系仅有一种，由两个非零向量 ${\displaystyle \{\alpha ,-\alpha \}}$  组成。此根系记作 ${\displaystyle A_{1}}$ 。

秩为2的例子

秩二的根系有四种可能，对应于${\displaystyle \sigma _{\alpha }(\beta )=\beta +n\alpha }$ ，其中${\displaystyle n=0,1,2,3}$ 的情况^[1]。注意根系并不由它生成的格所决定：${\displaystyle A_{1}\times A_{1}}$  和${\displaystyle B_{2}}$ 均生成正方形格，而 ${\displaystyle A_{2}}$ 和${\displaystyle G_{2}}$  生成六边形格。这仅仅是五种可能的二维格中的两种。 图解如下：

当 ${\displaystyle \Phi }$  是 ${\displaystyle V}$  中的根系，而 ${\displaystyle W}$  是 ${\displaystyle \Psi =\Phi \cap W}$  在 ${\displaystyle W}$  中生成的子空间，则 ${\displaystyle \Psi }$  是 ${\displaystyle W}$  中的根系。因此上述列表限制了任意秩根系中两根的几何关系，例如：任意两根的交角仅可能是 ${\displaystyle 0,30,45,60,90,120,135,150}$  或 ${\displaystyle 180}$  度。

对于根系 ${\displaystyle \Phi }$ ，可以取定满足下述条件的正根子集 ${\displaystyle \Phi ^{+}}$ ：

• 对每个根 ${\displaystyle \alpha \in \Phi }$ ，${\displaystyle \alpha ,-\alpha }$  中恰有一者属于 ${\displaystyle \Phi ^{+}}$ 。
• 对任意 ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \Phi ^{+}}$ ，若 ${\displaystyle \alpha +\beta \in \Phi }$ ，则 ${\displaystyle \alpha +\beta \in \Phi ^{+}}$ 。

正根的取法并不唯一。取定一组正根后，${\displaystyle -\Phi ^{+}}$  的元素被称为负根。

正根的选取等价于单根的选取。单根集是 ${\displaystyle \Phi }$  中满足下述条件的子集 ${\displaystyle \Delta }$ ：

任意 ${\displaystyle \Phi }$  中的元素皆可唯一地表成 ${\displaystyle \Delta }$  中元素的整系数线性组合，而且其系数或者全大于等于零，或者全小于等于零。

选定一组单根后，可定义相应的正根为展开式中系数大于等于零的根。如此可得到单根与正根选取法的一一对应。

不可约根系与某类被称为邓肯图的图间有一一对应关系。邓肯图的分类是简单的组合学问题，由此可导出不可约根系的分类定理。其构造方式如下：

给定一个不可约根系，选取一组单根。相应的邓肯图以这些单根为顶点。两个单根 ${\displaystyle \alpha ,\beta }$  若不垂直，则有 ${\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle \cdot \langle \beta ,\alpha \rangle }$  个边相连：若只有一个边，则不取定向，否则则取自长度 ${\displaystyle (\alpha ,\alpha )}$  长者（称为长根）指向短者（称为短根）的有向边。

一个根系可以取多种不同的单根。然而，由于外尔群在这些选取上的作用是传递的，邓肯图的构造与单根的选取无关，它是根系内在的不变量。反之，给定具有相同邓肯图的两个不可约根系，可以按图配对单根及其间的内积，从而得到根系的同构。邓肯图给出的内积未必唯一，但至多差一个正常数倍，因而得到的根系是同构的 。

借此，可将不可约根系的分类问题化约到连通邓肯图的分类。若某个邓肯图来自于根系，则从其顶点与边定义的双线性形式必然是邓肯的；配上这个条件后，即可解决根系的分类。

邓肯图的分类列表详如下图。下标表示图中的顶点数，亦即相应根系的秩。

不可约根系依其邓肯图的种类命名。有四族根系：${\displaystyle A_{n},B_{n},C_{n},D_{n}}$ ，其下标分别取遍 ${\displaystyle n\geq 1,2,3,4}$  的正整数，称为典型根系；剩下五种情形称为例外根系。下标表示根系之秩。在上表中， ${\displaystyle |\Phi ^{<}|}$  表示短根的个数（若诸根同长，则皆视为长根），${\displaystyle I}$  表示其嘉当矩阵的行列式，而 ${\displaystyle |W|}$  表示外尔群之阶。

A_n

取 ${\displaystyle V}$  为 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$  中满足 ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}=0}$  的点 ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$  所成之子空间。令 ${\displaystyle \Phi }$  为 ${\displaystyle V}$  中长度为 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$  的格子点。取 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$  的标准基 ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n+1}}$ ，则根具有 ${\displaystyle e_{i}-e_{j}\;(i\neq j)}$  的形式，共有 ${\displaystyle n(n+1)}$  个根。通常取单根为 ${\displaystyle \alpha _{i}:=e_{i}-e_{i+1}}$ 。

对垂直于 ${\displaystyle \alpha _{i}}$  的超平面的镜射在 ${\displaystyle \Phi }$  上的作用是交换第 ${\displaystyle i,i+1}$  个座标。因此 ${\displaystyle A_{n}}$  的外尔群不外就是对称群 ${\displaystyle S_{n+1}}$ 。

${\displaystyle A_{n}}$  是李代数 ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n+1,\mathbb {C} )}$  的根系。

B_n

取 ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}$ ，并令 ${\displaystyle \Phi }$  为 ${\displaystyle V}$  中长度为 ${\displaystyle 1,{\sqrt {2}}}$  的格子点。共有 ${\displaystyle 2n^{2}}$  个根。通常取单根为 ${\displaystyle \alpha _{i}=e_{i}-e_{i+1}\;(1\leq i<n)}$  及 ${\displaystyle \alpha _{n}:=e_{n}}$ （短根）。

对短根 ${\displaystyle \alpha _{n}}$  的反射即 ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto (x_{1},\ldots ,-x_{n})}$ 。

${\displaystyle B_{1}}$  跟 ${\displaystyle A_{1}}$  仅差一个缩放，因此通常仅考虑 ${\displaystyle n\geq 2}$  的情形。${\displaystyle B_{n}}$  是李代数 ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(2n+1,\mathbb {C} )}$  的根系。

C_n

取 ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}$ ，${\displaystyle \Phi }$  为 ${\displaystyle V}$  中所有长度 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$  的格子点与形如 ${\displaystyle 2\lambda }$ 的点，其中 ${\displaystyle \lambda }$  是长度为一的格子点。共有 ${\displaystyle 2n^{2}}$  个根。通常取单根为 ${\displaystyle \alpha _{i}:=e_{i}-e_{i+1}\;(1\leq i<n)}$ 及 ${\displaystyle \alpha _{n}:=2e_{n}}$ （长根）。

${\displaystyle C_{2}}$  与 ${\displaystyle B_{2}}$  仅差一个缩放加上旋转 45 度，因此通常仅考虑 ${\displaystyle n\geq 3}$  的情形。${\displaystyle C_{n}}$  是李代数 ${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(2n,\mathbb {C} )}$  的根系。

D_n

取 ${\displaystyle V:=\mathbb {R} ^{n}}$ ，${\displaystyle \Phi }$  为 ${\displaystyle V}$  中长度 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$  的格子点。共有 ${\displaystyle 2n(n-1)}$  个根。通常取单根为 ${\displaystyle \alpha _{i}=e_{i}-e_{i+1},\;(1\leq i<n)}$  及 ${\displaystyle \alpha _{n}=e_{n}+e_{n-1}}$ 。

${\displaystyle D_{3}}$  同构于 ${\displaystyle A_{3}}$ ，故通常仅考虑 ${\displaystyle n\geq 4}$  的情形。${\displaystyle D_{n}}$  是李代数 ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(2n,\mathbb {C} )}$  的根系。

E₈, E₇, E₆

${\displaystyle E_{8}}$  是较为特殊的根系。首先定义 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{8}}$  中满足下述条件的点集 ${\displaystyle \Gamma _{8}}$ ：

• 各座标均为整数，或均为半整数（不容相混）。
• 八个座标的和为偶数。

定义 ${\displaystyle E_{8}}$  为 ${\displaystyle \Gamma _{8}}$  中长度为 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$  的向量，即：

${\displaystyle \left\{\alpha \in \mathbb {Z} ^{8}\sqcup \left(\mathbb {Z} +{\frac {1}{2}}\right)^{8}:|\alpha |^{2}=2,\;\sum \alpha _{i}\in 2\mathbb {Z} \right\}}$ 

定义 ${\displaystyle E_{7}}$  为 ${\displaystyle E_{8}}$  与超平面 ${\displaystyle \{x:(x,\alpha )=0\}}$  之交， 其中 ${\displaystyle \alpha \in E_{8}}$  是任取的根。同样步骤施于 ${\displaystyle E_{7}}$ ，得到更小的根系 ${\displaystyle E_{6}}$ 。根系 ${\displaystyle E_{6},E_{7},E_{8}}$  分别有 72, 126 与 240 个根。若续行此化约步骤，则会得到典型根系 ${\displaystyle D_{5},A_{4}}$ 。

另一种等价的描述是取 ${\displaystyle \Gamma '_{8}}$  为：

• 各坐标均为整数，而且其和为偶数；或
• 各坐标均为半整数，而且其和为奇数。

${\displaystyle \Gamma _{8}}$  与 ${\displaystyle \Gamma '_{8}}$  同构。将任意偶数个座标乘以负一，便可在两者间转换。${\displaystyle \Gamma _{8}}$  称为 ${\displaystyle E_{8}}$  的偶坐标系，${\displaystyle \Gamma '_{8}}$  称为奇坐标系。

在偶坐标下，通常取单根为

${\displaystyle \alpha _{i}:=e_{i}-e_{i+1}\quad (1\leq i\leq 6)}$ 

${\displaystyle \alpha _{7}:=e_{7}+e_{6}}$ 

${\displaystyle \alpha _{8}=\beta _{0}={\frac {\sum _{i=1}^{8}e_{i}}{2}}}$ 

在奇坐标下，通常取单根为

${\displaystyle \alpha _{i}:=e_{i}-e_{i+1}\quad (1\leq i\leq 7)}$ 

${\displaystyle \alpha _{8}:=\beta _{5}}$ ，其中

${\displaystyle \beta _{j}:={\frac {-\sum _{i=1}^{j}e_{i}+\sum _{i=j+1}^{8}e_{i}}{2}}}$ 

（在上述定义中，若改取 ${\displaystyle \beta _{3}}$ ，将得到同构的结果。若改取 ${\displaystyle \beta _{1},\beta _{7},\beta _{2},\beta _{6}}$ ，将得到 ${\displaystyle A_{8}}$  或 ${\displaystyle D_{8}}$ 。至于 ${\displaystyle \beta _{4}}$ ，其坐标和为零，而 ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{7}}$  亦然，所以张出的向量空间维度不合所求。

删去 ${\displaystyle \alpha _{1}}$  可得到 ${\displaystyle E_{7}}$  的一组单根；再删去 ${\displaystyle \alpha _{2}}$ ，可得 ${\displaystyle E_{6}}$  的单根。

由于对 ${\displaystyle \alpha _{1}}$  垂直等价于前两个坐标相等，而对 ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2}}$  垂直等价于前三个座标相等，不难导出 ${\displaystyle E_{7},E_{6}}$  的明确定义：

E₇ = (α ∈ Z⁷ ∪ (Z+½)⁷: ∑α_i² + α₁² = 2，∑α_i + α₁ ∈ 2Z),

E₆ = (α ∈ Z⁶ ∪ (Z+½)⁶: ∑α_i² + 2α₁² = 2，∑α_i + 2α₁ ∈ 2Z)

F₄

对于 ${\displaystyle F_{4}}$ ，取 ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{4}}$ ，并令 ${\displaystyle \Phi }$  为满足下述条件的向量：

• ${\displaystyle |\alpha |=1,{\sqrt {2}}}$ 
• ${\displaystyle 2\alpha }$  各坐标皆为奇数或皆为偶数。

此根系有 ${\displaystyle 48}$  个根。通常取单根为 ${\displaystyle B_{3}}$  的单根再加上 ${\displaystyle \alpha _{4}=-\left(\sum _{i=1}^{4}e_{i}\right)/2}$ 。

G₂

${\displaystyle G_{2}}$  有 12 个根，构成一个六边形的顶点，详如秩二的例子一节所示。通常取单根为

• ${\displaystyle \alpha _{1}}$ 
• ${\displaystyle \beta :=\alpha _{2}-\alpha _{1}}$ 

在此沿用了之前的符号： ${\displaystyle \alpha _{i}:=e_{i}-e_{i+1},\;(i=1,2)}$ 。

不可约根系的分类可用于研究下述对象：

• 单复李代数
• 单复李群
• 模掉中心后为单李群的单连通复李群
• 紧单李群

引用

来源

• ADE分类
• 外尔群
• 考克斯特群
• 考克斯特矩阵
• 根资料
• 考克斯特-邓肯图