阶 (群论)

例子：包含三个物件的所有置换之对称群S₃会有下面的乘法表。

·	e	s	t	u	v	w
e	e	s	t	u	v	w
s	s	e	v	w	t	u
t	t	u	e	s	w	v
u	u	t	w	v	e	s
v	v	w	s	e	u	t
w	w	v	u	t	s	e

这个群有六个元素，所以ord(S₃) = 6。以定义可知，单位元素e的阶为1。s、t和w的平方都为e，所以这些群元素的阶都为2。剩下的，u和v的阶为3，因为u² = v 且 u³ = vu = e，而v² = u 且 v³ = uv = e。

由一个群或其内之元素的阶可以大致知道群的结构。简略地说，阶的因式分解越复杂，这个群就会越复杂。

若群G的阶为1，则这个群称为平凡群。给定一元素a，则ord(a) = 1当且仅当a为其单位元素。若G内的每一个(非单位)元素和其逆元素相同(故a² = e)，则ord(a) = 2且因此G会是个阿贝尔群，因为ab=(bb)ab(aa)=b(ba)(ba)a=ba。此一叙述的相反不一定为对；例如，整数同余6之(加法)循环群Z₆为可换的，但数字2的阶为3(2+2+2 = 6 ≡ 0 (mod 6))。

阶两种概念之间的关系如下：若给出一个由a产生之子群

${\displaystyle \langle a\rangle =\{a^{k}:k\in \mathbb {Z} \}}$ 

则

${\displaystyle \operatorname {ord} (a)=\operatorname {ord} (\langle a\rangle ).}$ 

对于任一个整数k，会有“a^k = e   当且仅当   ord(a) 整除 k”之关系。

一般来说，G的每个子群之阶都会整除G的阶。更精确地来说：若H是G的一个子群，则

ord(G) / ord(H) = [G : H]

，其中[G:H]是于G内的H之指标，为一整数。此为拉格朗日定理

上述会有一个立即的结论为，一个群的每一个元素之阶都会整除此一群的阶。例如，在上面所示之对称群中，ord(S₃) = 6，且其内元素的阶分别为1、2或3。

下面的部分相反对有限群为真：若d会整除一个群G的阶且d为一个质数，则存在一个内G内为d阶的元素(这有时被称为柯西定理)。此一叙述在其阶为合数时并不成立，如克莱因四元群中即不存在一个4阶的元素。这可以用数学归纳法来证明[1]。这个定理的结论包括：一个群G的阶为一个质数p的次方当且仅当对每个在G内的a，ord(a)都是p的某个次方[2]。

若a有无限阶，则a的所有次方也都会有无限阶。若a有有限阶，则对于a的次方的阶会有下列的公式：

ord(a^k) = ord(a) / gcd(ord(a), k)。

特别地是，a和其逆元素a^-1会有相同的阶。

并不存在一个将a和b的阶关连到其乘积ab的阶之一般公式。a和b都有着有限阶而ab则有着无限阶的情形还是有可能的。若ab=ba，则至少可知ord(ab)会整除lcm(ord(a),ord(b))。其结论可证明在一个有限阿贝尔群中，若m为所有群元素的阶之中的最大值，则每一个元素的阶都会整除m。

若G是一个有n阶的有限群，且d是n的因数，则G内有d阶的元素个数会为φ(d)的倍数，其中φ为欧拉函数，为不大于d且互质于d的正整数之个数。例如，在S₃的例子中，φ(3) =2，且确实有恰好两个3阶的元素。这个定理对为2阶之元素没有什么有用的资讯，因为φ(2) = 1。

群同态会缩减元素的阶：若f: G → H是一个同态，且a是G内一个有限阶的元素，则ord(f(a))会整除ord(a)。若f为单射的，则ord(f(a)) = ord(a)。这通常可以被用来证明在两个给定之离散群中不存在(单射)同态。(例如，不存在一个非当然同态h: S₃ → Z₅，因为每个在Z₅内除了0之外的元素都有着5阶，而不可以整除在S₃内有1、2、3阶的元素。)更进一步的结论有共轭元素会有相同的阶。

一个关于阶的重要结论为类方程；其将有限群G的阶连结至其中心Z(G)的阶和其非当然共轭类的多寡：

${\displaystyle |G|=|Z(G)|+\sum _{i}d_{i}\;}$ 

其中d_i为非当然共轭类的多寡；其为|G|大于1的纯因数，且会相等于某些G的非当然纯子群的指标。例如，S₃的中心为只有单位元素e之当然群，而此方程则读做|S₃| = 1+2+3。

一些有关群和其元素较深的问题包含在伯恩赛德问题里；有些的问题至今仍然未解。