整数模n乘法群

容易验证模 n 互质同余类在乘法运算下满足阿贝尔群的公理。

互质同余类的乘法是良好定义：a 与 n 互质，当且仅当 gcd(a, n) = 1. 同余类中的整数a ≡ b (mod n) 满足gcd(a, n) = gcd(b, n), 因此一个整数与 n 互质当且仅当另一个整数也与 n 互质.

恒同: 1 是恒同； 1所在的同余类是唯一的乘法恒同类

闭：如果 a 和 b 都与 n 互质，那么 ab 也是；因为gcd(a, n) = 1 与 gcd(b, n) = 1 意味着 gcd(ab, n) = 1, 与 n 互质的同余类在乘法下是封闭的。

逆：找 x 满足 ax ≡ 1 (mod n) 等价于解 ax + ny = 1，可用欧几里得算法求出x，并且x在模n的同余类里。当 a 与 n 互质, 由于 gcd(a, n) = 1 ,根据 裴蜀定理 存在整数 x 与 y 满足 ax + ny = 1. 注意到由等式 ax + ny = 1 可推出 x 与 n 互质, 所以乘法逆元属于群.

结合性和交换性：由整数的相应事实以及模 n 运算是一个环同态推出。由于同余类a ≡ a' 与 b ≡ b' (mod n) 的整数乘法意味着 ab ≡ a'b' (mod n). 这可推出乘法满足结合律、交换律。

整数模 n 环记作 ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$  或 ${\displaystyle \mathbb {Z} /(n)}$ （即整数环模去理想 nZ = (n) ，由 n 的倍数组成）或 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}.}$  因作者所喜，它的单位群可能记为 ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{*},}$  ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times },}$  ${\displaystyle U(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ),}$  或类似的记号，本文采用 ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }.}$ 

2 的幂次

模 2 只有一个互质同余类 1，所以 ${\displaystyle (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{\times }\cong \{1\}}$  平凡。

模 4 有两个互质同余类，1 和 3，所以 ${\displaystyle (\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} )^{\times }\cong C_{2},}$  两元循环群。

模 8 有四个互质同余类，1, 3, 5 和 7，每个平方都是 1，所以 ${\displaystyle (\mathbb {Z} /8\mathbb {Z} )^{\times }\cong C_{2}\times C_{2},}$  Klein 四元群。

模 16 有八个互质同余类，1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 和 15。${\displaystyle \{\pm 1,\pm 7\}\cong C_{2}\times C_{2},}$  为 2-扭子群（即每个元素的平方为 1），所以 ${\displaystyle (\mathbb {Z} /16\mathbb {Z} )^{\times }}$  不是循环群。3的幂次：${\displaystyle \{1,3,9,11\}}$  是一个 4 阶子群，5 的幂次也是，${\displaystyle \{1,5,9,13\}}$ 。所以 ${\displaystyle (\mathbb {Z} /16\mathbb {Z} )^{\times }\cong C_{2}\times C_{4}}$ 。

以上 8 和 16 的讨论对高阶幂次 2^k, k > 2^[1] 也成立： ${\displaystyle \{\pm 1,2^{k-1}\pm 1\}\cong C_{2}\times C_{2},}$  是 2-扭子群（所以 ${\displaystyle (\mathbb {Z} /2^{k}\mathbb {Z} )^{\times }}$  不是循环）而 3 的幂次是一个2^{k- 2} 子群，所以 ${\displaystyle (\mathbb {Z} /2^{k}\mathbb {Z} )^{\times }\cong C_{2}\times C_{2^{k-2}}}$ 。

奇质数的幂

对奇质数的幂 p^k，此群是循环群：^[2] ${\displaystyle \;\;(\mathbb {Z} /p^{k}\mathbb {Z} )^{\times }\cong C_{p^{k-1}(p-1)}\cong C_{\varphi (p^{k})}.}$ 

一般合数

中国剩余定理^[3] 说明如果${\displaystyle \;\;n=p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}p_{3}^{k_{3}}\dots ,\;}$  那么环 ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$  每个质数幂因子相应的环的直积：

${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \cong \mathbb {Z} /{p_{1}^{k_{1}}}\mathbb {Z} \;\times \;\mathbb {Z} /{p_{2}^{k_{2}}}\mathbb {Z} \;\times \;\mathbb {Z} /{p_{3}^{k_{3}}}\mathbb {Z} \dots \;\;}$ 

类似地，${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$  的单位群是每个质数幂因子相应群的直积：

${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }\cong (\mathbb {Z} /{p_{1}^{k_{1}}}\mathbb {Z} )^{\times }\times (\mathbb {Z} /{p_{2}^{k_{2}}}\mathbb {Z} )^{\times }\times (\mathbb {Z} /{p_{3}^{k_{3}}}\mathbb {Z} )^{\times }\dots \;.}$ 

群的阶数由欧拉函数给出：${\displaystyle |(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }|=\varphi (n).}$  （OEIS数列A000010） 这是直积中各循环阶数的乘积。

指数为卡迈克尔函数${\displaystyle \lambda (n)}$ ，（OEIS数列A002322），即这些循环群的阶数的最小公倍数。这意味着如果 a 和 n 互质，${\displaystyle a^{\lambda (n)}\equiv 1(\mathrm{mod}n).}${\displaystyle a^{\lambda (n)}\equiv 1{\pmod {n}}.}  

${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$  是循环群当且仅当 ${\displaystyle \varphi (n)=\lambda (n).}$  这在 n 为奇质数的幂次、奇质数幂次 2 倍、2 和 4 成立，此时也称一个生成元为模 n 的原根。

因为所有 ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times },}$  n = 1, 2, ..., 7 是循环群，上述结论的另一种说法是：如果 n < 8 那么 ${\displaystyle \;(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$  有原根；如果 n ≥ 8，且不能被 4 或者两个不同的奇质数整除，${\displaystyle \;(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$  有原根。(  A033948 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 17, 18, 19, 22, 23, 25, 26, 27, 29, 31, 34, 37, 38, 41, 43, 46, 47, 49, 50, ... )

一般情形每个直积因子循环有一个生成元。

这个表列出了较小 n ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$  的结构和生成元。生成元不是惟一（mod n）的，比如 (mod 16) 时 {–1, 3} 和{–1, 5} 都可以。生成元以和直积因子相同的顺序列出。

以 n=20 为例。${\displaystyle \varphi (20)=8}$  意味着 ${\displaystyle (\mathbb {Z} /20\mathbb {Z} )^{\times }}$  的阶数是 8（即有 8 个小于 20 的正整数与其互质）；${\displaystyle \lambda (20)=4}$  说明任何和20互质的数的 4 次幂≡ 1(mod 20)；至于生成元，19 的指数为2，3 的指数为 4，而任何${\displaystyle (\mathbb {Z} /20\mathbb {Z} )^{\times }}$  中元素都是 19^a × 3^b 的形式，这里 a 为 0 或 1，b 为 0, 1, 2, 或 3。

19 的幂是 {±1}，3 的幂为 {3, 9, 7, 1}。后者和他们的负数 (mod 20)，{17, 11, 13, 19} 是所有小于 20 且与其互质的数。19 的指数为 2 而 3 的指数为 4 意味着任何 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{20}^{\times }}$  中数的 4 次幂 ≡ 1 (mod 20)。

Lenstra 椭圆曲线分解（英语：Lenstra elliptic curve factorization），Lenstra（英语：Arjen Lenstra） 给出的基于椭圆曲线的整数因子分解算法）

高斯的算术研究（Disquisitiones Arithemeticae）由西塞罗拉丁语翻译成英语和德语。德语版包含他所有数论的论文：所有关于二次互反律的证明，高斯和符号的确定，双二次互反律的研究以及未发表的笔记。

• Gauss, Carl Friedrich; Clarke, Arthur A. (translator into English), Disquisitiones Arithemeticae (Second, corrected edition), New York: Springer, 1986, ISBN 0387962549 

• Gauss, Carl Friedrich; Maser, H. (translator into German), Untersuchungen uber hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithemeticae & other papers on number theory) (Second edition), New York: Chelsea, 1965, ISBN 0-8284-0191-8 

• Riesel, Hans, Prime Numbers and Computer Methods for Factorization (second edition), Boston: Birkhäuser, 1994, ISBN 0-8176-3743-5 

• 埃里克·韦斯坦因. Modulo Multiplication Group. MathWorld.