射影定理
射影定理(台湾称“母子相似定理”)(英语:Geometric Mean Theorem),又称欧几里得定理(英语:Euclid's theorem),是平面几何中的一个定理。这个定理指出,在一个直角三角形中,一条直角边的平方,相等于三角形的斜边,乘以该边在斜边上的正投影。[1]这个定理出现在欧几里得所著《几何原本》第一卷当中,是第 47 个命题毕氏定理证明过程的一部分。[2]
定理内容
在 ΔABC 中,∠C = 90°。设 CD 在 AB 的上的高,则有:
在这里,AD 及 BD 分别是 AC 及 BC 在底边 AB 的正投影,故定理以此为名。
证明
注意到 ΔABC 与 ΔACD 是相似三角形。因此可得
整理可得
同理,考虑相似三角形 ΔABC 与 ΔCBD,可得
整理可得
证明完毕。
相关定理
直角三角形面积
在上面的 ΔABC 中,我们有:
考虑三角形的面积,即可容易地证明。
勾股定理
勾股定理,是欧几里得所著《几何原本》第一卷当中的第 47 个命题。[2]这个定理指出:
勾股定理与射影定理有密切关系。事实上,在《几何原本》中,射影定理正是该证明过程的一部分。从射影定理可知:
将两条等式相加,则可得:
由于 AD + BD = AB,因此可得:
证明完毕。
几何平均定理
几何平均定理,是在《几何原本》第六卷中的第 8 个命题。[3]这个定理指出:
也就是说,CD 是 AD 和 BD 的几何平均。
与射影定理一样,几何平均定理可从相似三角形得证。
一般三角形的情况
对于 ∠C ≠ 90° 的情况,三角形边长的正投影可用余弦求得:
以上结果从余弦的定义直接可得。
把上面两式相加,即可得:
以上公式,又被称为“第一余弦定理”。[4]然而,一般“余弦定理”所指的,是另一条定理(“第二余弦定理”),详见余弦定理。
三维空间上的推广
三直角四面体
射影定理在三维空间上,也有相应的推广。设三直角四面体 ABCD 中,∠ADB = ∠ADC = ∠BDC = 90°。又设 D 在斜面 ΔABC 的正投影为 E。我们则有:
其中 [ΔABC] 表示 ΔABC 的面积。
把以上三条等式相加,则可得德古阿定理:
德古阿定理可以视为毕氏定理在三维空间上的其中一种推广。[5]
一般四面体
在四面体 ABCD 中,设 ΔABC 为底面。又设 D 在 ΔABC 的正投影为 E。我们则有:
其中 α 、β 及 γ 分别是 AD 、BD 及 CD 与底面 ΔABC 的夹角。
另外亦有:
其中 θ 、ϕ 及 ψ 分别是 ΔABD 、ΔACD 及 ΔBCD 与底面 ΔABC 的夹角。
将上面三条等式相加,可得:
是上面提到“第一余弦定理”的三维推广。
任意图形的投影
更进一步地说,面积为 S 的任意平面图形,在底面的正投影的面积 Sproj,都可用余弦求得:
其中 θ 是该平面图形与底面的夹角。
参考资料
- ^ 曹才翰 主编; 沈复兴, 孙瑞清, 余炯沛等 副编. 《中國中學教學百科全書 • 數學卷》. 沈阳出版社. 1991. ISBN 9787805564241.
- ^ 2.0 2.1 Euclid. Proposition 47, Element, Book I. c 300 BC [2020-02-15]. (原始内容存档于2021-02-24). 引用错误:带有name属性“Euclid_I47”的
<ref>
标签用不同内容定义了多次 - ^ Euclid. Proposition 8, Element, Book VI. c 300 BC [2020-02-15]. (原始内容存档于2020-02-03).
- ^ 中原晴彦. エジプト人のための三角比入門 (PDF). 顺天サイエンスライブラリー. 2003 [2020-02-15]. (原始内容存档 (PDF)于2020-02-15).
- ^ Sergio A. Alvarez. Note on an n-dimensional Pythagorean theorem (PDF). Center for Nonlinear Analysis and Department of Mathematical Sciences, Carnegie Mellon University. [2020-02-15]. (原始内容存档 (PDF)于2012-10-02).