三角化二十面体

三角化二十面体由60个面、90条边和32个顶点组成，其中60个面皆为全等的等腰三角形组成；在其32个顶点中，其中20个顶点是3个面的公共顶点、12个顶点是10个面的公共顶点^[4]。其作为卡塔兰立体时，每个顶点到期几何中心的距离相等^[5]，也就是说，若构造方式是由正二十面体的每个面上叠上三角锥，则这个三角锥的锥高需要恰好使得所构成的立体所有二面角相等，这种方是构成的三角化二十面体是一种卡塔兰立体，其对偶多面体为截角十二面体。^[6]

要让所构成的立体所有二面角相等，则其叠在原像——正二十面体上的三角锥之锥高必须为^[3]：

${\displaystyle {\frac {a}{{\sqrt {3}}\left(5\varphi +2\right)}}\approx 0.057\cdot a}$ 

其中，${\displaystyle \varphi }$ 为黄金比例、${\displaystyle a}$ 为原像正二十面体的边长。

而若要确保所形成的立体为严格凸的多面体，其锥高必须小于${\displaystyle H_{max}}$ ^[3]：

${\displaystyle H_{max}={\frac {a{\sqrt {3}}}{6\varphi }}\approx 0.11\cdot a}$ 

若锥高等于${\displaystyle H_{max}}$ 时，该立体将会出现共面，相邻两面加入的角锥之侧面互相共面形成菱形，此时立体变为菱形三十面体^[3]，更高的锥高将导致立体变为非凸多面体。^[3][7][8]

尺寸

若其对偶多面体截角十二面体的边长为单位长，则三角化二十面体的边长为^[9]：

${\displaystyle s_{1}={\frac {5}{22}}\left(7+{\sqrt {5}}\right)}$ 

${\displaystyle s_{2}={\frac {1}{2}}\left(5+{\sqrt {5}}\right)}$ 

而其表面积与体积为：^[9]

${\displaystyle S={\frac {75}{11}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(313+117{\sqrt {5}}\right)}}}$ 

${\displaystyle V={\frac {125}{44}}\left(19+9{\sqrt {5}}\right)}$ 

中交球半径${\displaystyle r_{m}}$ 与内切球半径${\displaystyle r_{i}}$ 为^[10]：

${\displaystyle r_{\mathrm {m} }={\frac {1}{4}}\left(5+3{\sqrt {5}}\right)\approx 2.92705}$ 

${\displaystyle r_{\mathrm {i} }={\frac {5}{122}}{\sqrt {61\left(41+18{\sqrt {5}}\right)}}\approx 2.885258}$ 

面的组成

三角化二十面体由60个全等的等腰三角形组成。三角化二十面体可以视为由正二十面体的每个面上叠上三角锥构成，其中三角锥的底面与原始立体正二十面体的面贴合，因此构成三角化二十面体的等腰三角形其底边会与原始立体的边长相等；而等腰三角形的腰长将会与三角化变换时加入的锥高相关。以卡塔兰立体为例，其加入的三角锥锥高正好使得立体中所有二面角相等，此时构成这种立体之面等腰三角形顶角角度约119.04°、底角角度约30.48°，边长比为${\displaystyle 2{\sqrt {5}}:2{\sqrt {5}}:3{\sqrt {5}}+1}$ 。^[11]

底边长/腰长 = ${\displaystyle {\frac {15+{\sqrt {5}}}{10}}}$ 

三角化二十面体有3个对称点，其中两个为基于顶点、一个为基于棱之中点。此外三角化二十面体亦存在5个特殊的正交投影，分别为基于顶点的投影、基于两种边长之边的投影各一种、基于立体中六边形^{[注 1]}的投影、以及基于立体中五边形的投影^{[注 1]}。最后两种投影方式的对称性对应于A₂ 和 H₂的考克斯特平面^[12][13]。

当每面叠上的三角锥的高不能使得各角锥侧面与侧面间的二面角相等，就会有如下情况^{[14][3][7][8]}：

1. ^ ^{1.0 1.1} 三角化二十面体会在正交投影上形成六边形和五边形。
2. ^ ^{2.0 2.1} 正二十面体四维锥（英语：Icosahedral pyramid）的展开图为将正四面体叠至正二十面体的每一个面上^{[注 4]}。
3. ^ Klitzing, Richard. "3D convex uniform polyhedra" ^[16]x3o5o - ike, circumradius sqrt[(5+sqrt(5))/8 = 0.951057
4. ^ 正二十面体四维锥（英语：Icosahedral pyramid）的底胞为正二十面体，由于其外接球半径小于边长^{[注 3]}，因此可以经由边长相等的正四面体构成侧胞
5. ^ 此立体由正四面体叠至正二十面体的每一个面上构成^{[注 2]}，而正四面体每个边皆等长，因此加入的锥高为对应边长之正四面体的高。