−1

将一数字乘上-1的动作，等价于将此数值变号。借由分配律，以及1是乘法运算的单位元之公理，对于实数x，我们得到

${\displaystyle x+(-1)\cdot x=1\cdot x+(-1)\cdot x=(1+(-1))\cdot x=0\cdot x=0}$ 

这里我们使用了"任意实数x乘上0等于0"，将x从等式中约掉。

${\displaystyle 0\cdot x=(0+0)\cdot x=0\cdot x+0\cdot x\,}$ 

也就是，

${\displaystyle x+(-1)\cdot x=0\,}$ 

故(−1) · x是 x的相反数。

负一平方

−1的平方亦即−1乘于−1，等于1。意即，两负实数相乘为一正实数。

代数证明此结果

${\displaystyle 0=-1\cdot 0=-1\cdot [1+(-1)]}$ 

第一个等式取自上一段落的结果。第二个等式是根据“−1是1的加法逆元”。 再使用分配律，我们得到

${\displaystyle 0=-1\cdot [1+(-1)]=-1\cdot 1+(-1)\cdot (-1)=-1+(-1)\cdot (-1)}$ 

第三个等式依据是：1是乘法运算的单位元。然后在等式前后加上1

${\displaystyle (-1)\cdot (-1)=1}${\displaystyle (-1)\cdot (-1)=1}  

以上运算适用于任意环。

负一的平方根

复数${\displaystyle i}$ 满足${\displaystyle {{i}^{2}}=-1}$ ，也可视为-1的平方根。另一个能满足x² = −1的复数x是−i。^[1]四元数的代数包含复平面，等式x² = −1拥有无限多组解。

负一的乘幂

我们定义${\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}}$ ，即代数x的−1次方，或代数x的倒数。可将此定义结合指数定律${\displaystyle x^{a}\cdot x^{b}=x^{a+b}\ a,b\in \mathbb {R} }$  。 负数整数形式的指数可以拓展到环的逆元素，定义${\displaystyle x^{-1}}$ 作为${\displaystyle x}$ 的乘法逆元。

函数或矩阵右上的-1不是指数，而是反函数与反矩阵。例如：${\displaystyle f^{-1}(x)}$ 是${\displaystyle f(x)}$ 的反函数，${\displaystyle \sin ^{-1}(x)}$ 是反正弦函数。

负一的对数

包括-1在内的所有负数在实数域中是没有对数的，但在复数域，根据欧拉恒等式${\displaystyle {{{e}^{{i}\,{\pi }}}+{1}}=0}$ ，可以得出-1的自然对数${\displaystyle \ln {(-1)}=i\pi }$ 。

空集的归纳维数被定义为-1。在抽象几何学（英语：Abstract_polytope）中，空多胞形的维数亦被定义为-1^[2]。

大多数计算机系统使用补码来表示负号整数。此系统中，所有比特皆为一以表示-1，若以8-bit有号整数系统表示，即为"11111111"，或十六进位制的"FF"。若将-1解读为无号整数，n个一将表示为2ⁿ − 1，且较有号整数系统能容纳更大数值。例如，8-bit的"11111111"表示为${\displaystyle {{{2}^{8}}-{1}}=255}$ 。

在 Setun计算机中 ${\displaystyle -1}$ 以倒转的阿拉伯数字一“1”表示^[3]。

• 1：-1的相反数
• 数表

1. ^ Ask Dr. Math. Math Forum. [2012-10-14]. （原始内容存档于2019-08-15）. 
2. ^ Guy Inchbald. Vertex figures: The complete vertex and general vertex figures. steelpillow. 2005-01-06 [2016-08-02]. （原始内容存档于2016-08-19）. 
3. ^ N.A.Krinitsky; G.A.Mironov; G.D.Frolov. Chapter 10. Program-controlled machine Setun. M.R.Shura-Bura (编). Programming. Moscow. 1963 （俄语）.