拿破仑定理

为外侧任意两个正三角形作外接圆，其两圆有2个交点，其中一个交点为中间三角形的顶点，设另外一个交点为${\displaystyle O}$ ，并连接${\displaystyle O}$ 与中间三角形的另外两个顶点，因为${\displaystyle O}$ 在两圆上，所以${\displaystyle \angle AOB=\angle AOC=\angle COB=120^{\circ }}$ 

因为中间正三角形的顶点在圆心上，且${\displaystyle AO}$ 、${\displaystyle BO}$ 、${\displaystyle CO}$ 是外正三角形外接圆交点的连线，所以${\displaystyle OA}$ ⊥${\displaystyle MN}$ 、${\displaystyle OB}$ ⊥${\displaystyle NL}$ 、${\displaystyle OC}$ ⊥${\displaystyle ML}$ 

因为${\displaystyle \angle ACO+\angle CAO=60^{\circ }}$ ，${\displaystyle \angle CAO+\angle AMN=\angle ACO+\angle CML=60^{\circ }}$ ，所以${\displaystyle \angle AMN+\angle CML=60^{\circ }}$ ，所以${\displaystyle \angle NML=60^{\circ }}$ ，其余二角同理。

这一定理可以等价描述为：若以任意三角形的各边为底边向形外作底角为30°的等腰三角形，则它们的顶点构成一个正三角形。
本图形具备下列特征:

• 线段${\displaystyle {\overline {AX}}={\overline {BY}}={\overline {CZ}}}$ ，且该三线段交于一点，该点到ABC三点距离之和等于${\displaystyle {\overline {AX}}}$ （或${\displaystyle {\overline {BY}}}$ 、${\displaystyle {\overline {CZ}}}$ ）。
  
• ${\displaystyle {\overline {AX}}}$ 与${\displaystyle {\overline {MN}}}$ 、${\displaystyle {\overline {BY}}}$ 与${\displaystyle {\overline {NL}}}$ 、${\displaystyle {\overline {CZ}}}$ 与${\displaystyle {\overline {ML}}}$ 互相垂直。
  
• ${\displaystyle \triangle ACY,\triangle BCX,\triangle ABZ}$ 之外接圆相交于一点，该点即线段${\displaystyle {\overline {AX}},{\overline {BY}},{\overline {CZ}}}$ 之交点。
  

• 四边形上，类似的定理为凡·奥贝尔定理。
• 拿破仑定理本身为佩特诺-伊曼-道格拉斯定理的特例。
• 内拿破仑三角形的面积大于等于 0 给出外森比克不等式。
• 西姆松定理
• 九点圆

• 拿破仑三角形的证明 （页面存档备份，存于互联网档案馆）：利用图解的方式，一步一步说明拿破仑三角形的原理（英文）。