正65537边形

角度

正65537边形的形状复杂，边亦非常多，几乎是一个圆形。正65537边形的圆心角和外角的大小为：

${\displaystyle {\frac {360^{\circ }}{65537}}\approx {0.005493^{\circ }}\approx 19.775''}$ 

面积

半径为1的圆内切正65537边形的面积：

${\displaystyle {\frac {65537}{2}}\sin {\frac {2\pi }{65537}}\approx 3.141592648777}$ 

其面积与圆周率极其接近。

边长

若假设圆的半径是1，那么正65537边形每条边的长度是：

${\displaystyle 2\sin {\frac {\pi }{65537}}\approx 0.00009587}$ 

二次同余论

${\displaystyle 65537=2^{2^{4}}+1}$ 是第五个费马数。高斯在1801年出版的‘算术研究’中的“二次同余论”，证明了如果${\displaystyle p}$ 为费马数，则正${\displaystyle p}$ 边形是可以尺规作图绘出。此外反过来亦证明如果素数${\displaystyle p}$ 对应的正${\displaystyle p}$ 边形可以绘图的话，${\displaystyle p}$ 就是费马数。在高斯得出此定理之前，已知的费马素数只有3、5、17、257、65537。

虽然高斯证明了正65537边形绘图的可能性，不过没有说明具体的方法。但大部分人都明白，如果利用原始绘图方法绘图，将会是一个浩大的工程。德国的约翰·古斯塔夫·爱马仕利用了10年的时间不断研究绘画正65537边形的方法，并在1894年发表了超过200页手稿的计算方法^[1]。目前在哥廷根大学中保管^[2]。

由于边数巨大，使得人们无法用任何办法将其完整地印刷或显示出来并与圆形加以区分。如果要画出正65537边形及其外接圆，并使边和圆周之间的最大距离为1cm的话，这个圆的半径要超过8700公里。

• 埃里克·韦斯坦因. 65537-gon. MathWorld. 

• 65537
• 费马数
• 尺规作图