例子
举例明之,考虑下述方阵:
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其特征多项式为
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此时可以直接验证哈密尔顿–凯莱定理:
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此式可以简化高次幂的运算,关键在于下述关系:
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例如,为了计算 ,可以反复利用上述关系式:
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或是,如果要计算 ,也可以假设:
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然后,依照前面的特征多项式 之两解 ,代入后可以得到
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然后解方程后求出 ,便可得 。
此外,哈密尔顿–凯莱定理也是计算特征向量的重要工具。
注:一般而言,若 矩阵 可逆(即: ),则 可以写成 的幂次和:特征多项式有如下形式
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将方程式 同乘以 ,便得到
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定理证明
以下考虑布于域 上的矩阵。
哈密尔顿–凯莱定理可以视为线性代数中拉普拉斯展开的推论。拉普拉斯展开可推出若 是 矩阵,而 表其伴随矩阵,则
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取 ,便得到 。此式对所有 皆成立,由于实数或复数域有无穷多元素,上式等式在多项式环 内成立。
设 ,矩阵 赋予 一个 -模结构: 。考虑 -模 ,我们有 -模之间的“求值态射”:
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固定 ,对 中的等式
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右侧取 后得到 ,左侧取 后得到 。明所欲证。
另外一个简单的证明:
令:
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由:
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得:
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因两多项式,他们的对应项系数相等得:
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在等式两边t的i次项系数分别乘以Ai, 并将等式左右两边分别相加并合项得:
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得证。
抽象化与推广
前述证明用到系数在 的矩阵的克莱姆法则,事实上该法则可施于任何系数在交换环上的矩阵。借此,哈密尔顿–凯莱定理可以推广到一个交换环 上的任何有限生成自由模 (向量空间是特例)。中山正引理的一种证明就用到这个技巧。
外部链接