调和测度

设 D 是 n-维欧几里得空间中一个有界开区域，n ≥ 2，记 ∂D 为 D 的边界。任何连续函数 f : ∂D → R 惟一确定一个调和函数 H_f 满足狄利克雷问题：

${\displaystyle {\begin{cases}-\Delta H_{f}(x)=0,&x\in D;\\H_{f}(x)=f(x),&x\in \partial D.\end{cases}}}$ 

如果点 x ∈ D 取定，H_f(x) 确定了 ∂D 上的一个非负拉东测度 ω(x, D)：

${\displaystyle H_{f}(x)=\int _{\partial D}f(y)\,\mathrm {d} \omega (x,D)(y).}$ 

这个测度 ω(x, D) 称为关于区域 D 和点 x 的调和测度。

• 对任何 ∂D 中的波莱尔集 E ，调和测度 ω(x, D)(E) 等于Direchlet 问题中边界函数取 E 的示性函数的解在 x 点的取值。故ω(x, D)(E) 是 x 的调和函数。

• 对取定的 D 和 E ⊆ ∂D， ω(x, D)(E) 是x ∈ D 的一个调和函数，且

${\displaystyle 0\leq \omega (x,D)(E)\leq 1;}$ 

${\displaystyle 1-\omega (x,D)(E)=\omega (x,D)(\partial D\setminus E);}$ 

从而，对任何 x 和 D，ω(x, D) 是 ∂D 上的概率测度。

• 只要在 D 中有一点 x 满足 ω(x, D)(E) = 0 ，那么根据极小值原理，ω(x, D)(E) 对任何 x 恒等于 0，在这种情况下称 E 是一个零调和测度集。进一步，如果 Rⁿ 中紧集 K 关于某个区域 D 的调和测度为 0，那么 K 关于任何区域的调和测度都是 0，这种情况当且仅当 K 的调和体积为 0。

要计算出一个一般区域的调和测度是困难的，但是对于平面 R² 上一些常见的区域的边界上某些子集，我们可以直接写出调和测度。

• D 为圆域，E ⊆ ∂D 是长为 2α 的圆弧，设 θ(x) 为点 x ∈ D 对圆弧 E 的视角，则：

${\displaystyle \omega (x,D)(E)={\frac {\theta (x)-\alpha }{\pi }}.}$ 

• D 为以原点为中心内外半径为 r、R 的圆环域，E₁、E₂ 分别为内外边界，则对所有 x ∈ D 有：

${\displaystyle \omega (x,D)(E_{1})={\frac {\log R-\log |x|}{\log R-\log r}};}$ 

${\displaystyle \omega (x,D)(E_{2})={\frac {\log |x|-\log r}{\log R-\log r}}.}$ 

若已知调和函数的模在边界上的估计，利用调和测度就可得到内部模的一个估计。譬如，如果 ∂D 分为 E₁ 和 E₂ 两部分（多部分一样），设调和函数 f 的模长在 E₁、E₂ 上分别有界 M₁、M₂，那么 f 在 D 内部 x 点有界：

${\displaystyle |f(x)|\leq \omega (x,D)(E_{1})M_{1}+\omega (x,D)(E_{2})M_{2}\;.}$ 

设 D、E₁、E₂ 为第二个例子，取 f(x) = |log(h(x))|，这里 h(x) 是环域上一个全纯函数，我们便可得到阿达马的三圆定理。

考虑始于区域 D 内部某一点 x 的一个取 Rⁿ 值的 Itō 扩散 X，具有规律 P^x。假设我们要知道 X 逃逸出 D 的点分布。譬如，实数轴上开始于 0 点，位于区间 (−1, +1) 的标准布朗运动，在 −1 的概率是 1/2，在 +1 的概率是 1/2，所以 B_{τ(−1, +1)} 是集合{−1, +1} 上的一致分布。

一般的，如果 G 紧嵌入 Rⁿ，那么 X 在 G 的 ∂G的调和测度（或撞击分布）为测度 μ_G^x，定义为：

${\displaystyle \mu _{G}^{x}(F)=\mathbf {P} ^{x}{\big [}X_{\tau _{G}}\in F{\big ]}}$ 

对 x ∈ G 和 F ⊆ ∂G。

回到首先布朗运动的例子，我们可以证明如果 B 是一个 Rⁿ 内开始于 x ∈ Rⁿ 的布朗运动，且 D ⊂ Rⁿ 是一个以 x 为中心的开球体，那么 B 在 ∂D 的调和测度在 D 绕 x 的所有旋转下是不变的，从而调和测度等于 ∂D 上的曲面测度。

• Øksendal, Bernt K. Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications Sixth edition. Berlin: Springer. 2003. ISBN 3-540-04758-1.  引文格式1维护：冗余文本 (link) MR2001996 (See Sections 7, 8 and 9)

• Ahlfors, Lars V. Complex Analysis Third edition. Beijing: China Machine Press. 2004. ISBN 711113416 请检查|isbn=值 (帮助).  引文格式1维护：冗余文本 (link)(See Sections 6.5.1)

• Solomentsev, E.D. (2001), Harmonic measure（页面存档备份，存于互联网档案馆）, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104